Calcule cada um dos limites
lim x 0(1+2 x)^3 / x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0(1+2x)^3/x
O conteúdo é limite do tipo “ 1+pequeno” elevado a “ grande”, e vamos usar logaritmo natural para transformar em exponencial.

Passo 2

Definimos
f(x) = (1+2x)^3/x,
então
ln f(x) = 3x,ln(1+2x)
Como f(x)>0, vale
limxto0f(x)=expl(limxto0ln f(x)r)

Passo 3

Calculemos
L = limxto0ln f(x) = limxto03x,ln(1+2x) = 3;limxto0ln(1+2x)x
Para esse último limite, note que para uto0
ln(1+u)uto1,
aqui com u=2x obtemos
limxto0ln(1+2x)x =limxto0ln(1+2x)2xcdot2 =1cdot2=2
Logo
L = 3cdot2 = 6

Passo 4

Portanto
limxto0f(x) =exp(L) =exp(6),
ou seja,
limxto0(1+2x)^3/x = e^6

Resposta

e^6

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