Usando derivadas analíticas e também aproximações das derivadas por diferenças finitas centradas, use o método de Newton para obter o mínimo das seguintes funções. Verifique o efeito do ponto inicial na convergência. Faça um gráfico da função para verificar o resultado.
, com
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre o mínimo da função
usando o método de Newton de duas maneiras:
. Com derivadas analíticas de
.
. Com derivadas aproximadas por diferenças finitas centradas.
Além disso, devemos verificar como o ponto inicial influencia a convergência e fazer um gráfico de em
para confirmar visualmente o mínimo.
Além disso, devemos verificar como o ponto inicial influencia a convergência e fazer um gráfico de
Passo 2
Vamos obter as derivadas analíticas de
. Defina
então
.
. Derivada primeira:
Pela regra do produto,
Calcula-se
logo
Passo 3
Para as diferenças finitas centradas escolhemos um passo
pequeno (por ex.
).
. Aproximação de
:
Passo 4
O método de Newton itera
substituindo
e
analíticos no caso
, e pelas fórmulas de diferença finita no caso
.
Critério de parada: ou
.
Critério de parada:
Passo 5
Aplicando Newton com derivadas analíticas para diferentes
:
-
!: converge em iterações para . -
!: converge em iterações para . -
!: converge em iterações para .
Em todos os casos o método vai para
, que é a solução exata de
e apenas
.
Passo 6
Com diferenças finitas centradas (
) a convergência também ocorre para
, em número de iterações semelhante ao caso analítico. A escolha de
muito grande pode tornar a convergência mais lenta ou imprecisa, mas com
o erro de truncamento e de arredondamento fica balanceado.
Passo 7
Efeito do ponto inicial: como
tem um único mínimo interior em
, qualquer
gera convergência local a
. Se começássemos muito longe (fora de
), o método poderia divergir ou convergir lentamente, mas dentro do intervalo dado o desvio inicial só altera o número de iterações, não o resultado final.
Passo 8
O gráfico de
mostra claramente uma depressão em
com
. A curva é positiva em toda parte, se anula em
e cresce suavemente na vizinhança.
Resposta
O mínimo de
em
é
obtido pelo método de Newton com derivada analítica ou com diferenças finitas centradas, independentemente do ponto inicial em
.