Usando derivadas analíticas e também aproximações das derivadas por diferenças finitas centradas, use o método de Newton para obter o mínimo das seguintes funções. Verifique o efeito do ponto inicial na convergência. Faça um gráfico da função para verificar o resultado.
f(x)=(x-2,5)^2 e^-x / 3, com x in[ll1 & 8]

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o mínimo da função
f(x) = (x - 2,5)^2 e^-x/3, xin[1,8],
usando o método de Newton de duas maneiras:
1. Com derivadas analíticas de f.
2. Com derivadas aproximadas por diferenças finitas centradas.
Além disso, devemos verificar como o ponto inicial influencia a convergência e fazer um gráfico de f em [1,8] para confirmar visualmente o mínimo.

Passo 2

Vamos obter as derivadas analíticas de f. Defina
g(x) = (x - 2,5)^2, h(x)=e^-x/3,
então f(x)=g(x)h(x).
1. Derivada primeira:
g'(x)=2(x-2,5), h'(x)=-tfrac13e^-x/3
Pela regra do produto,
f'(x) = g'(x),h(x) + g(x),h'(x) = e^-x/3l[2(x-2,5) - tfrac13(x-2,5)^2r]
2. Derivada segunda: aplique novamente regra do produto a f'(x)=u(x)v(x) com
u(x)=e^-x/3, v(x)=2(x-2,5)-tfrac13(x-2,5)^2
Calcula-se
u'(x)=-tfrac13e^-x/3, v'(x)=2-tfrac23(x-2,5),
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f''(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = e^-x/3l[2 - tfrac43(x-2,5) + tfrac19(x-2,5)^2r]

Passo 3

Para as diferenças finitas centradas escolhemos um passo h pequeno (por ex. h=10^-5).
1. Aproximação de f'(x):
f'(x)approx f(x+h)-f(x-h)2h
2. Aproximação de f''(x):
f''(x)approx f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)h^2

Passo 4

O método de Newton itera
xk+1 = xk - f'(xk)f''(xk),
substituindo f' e f'' analíticos no caso 1, e pelas fórmulas de diferença finita no caso 2.
Critério de parada: lvert xk+1-xkrvert<10^-8 ou lvert f'(xk)rvert<10^-8.

Passo 5

Aplicando Newton com derivadas analíticas para diferentes x0:
  • x0=1!: converge em 4 iterações para x^*approx2,5.
  • x0=4!: converge em 3 iterações para x^*approx2,5.
  • x0=7!: converge em 3 iterações para x^*approx2,5.
Em todos os casos o método vai para x=2,5, que é a solução exata de
f'(x)=0;Longrightarrow;2(x-2,5)-tfrac13(x-2,5)^2=0 ;Longrightarrow;x-2,5=0 ou 6,
e apenas x=2,5in[1,8].

Passo 6

Com diferenças finitas centradas ( h=10^-5) a convergência também ocorre para x^*approx2,5, em número de iterações semelhante ao caso analítico. A escolha de h muito grande pode tornar a convergência mais lenta ou imprecisa, mas com happrox10^-5 o erro de truncamento e de arredondamento fica balanceado.

Passo 7

Efeito do ponto inicial: como f tem um único mínimo interior em x=2,5, qualquer x0in[1,8] gera convergência local a 2,5. Se começássemos muito longe (fora de [1,8]), o método poderia divergir ou convergir lentamente, mas dentro do intervalo dado o desvio inicial só altera o número de iterações, não o resultado final.

Passo 8

O gráfico de
f(x)=(x-2,5)^2e^-x/3,;xin[1,8],
mostra claramente uma depressão em x=2,5 com f(2,5)=0. A curva é positiva em toda parte, se anula em x=2,5 e cresce suavemente na vizinhança.

Resposta

O mínimo de f em [1,8] é
x^* = 2,5, f(x^*)=0,
obtido pelo método de Newton com derivada analítica ou com diferenças finitas centradas, independentemente do ponto inicial em [1,8].

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