Calcule os limites e simplifique sua resposta:
lim x 0^+(1+sin (x))^1tan (x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+(1+sin(x))^1tan(x),
que é um limite do tipo “ 1^infty”. Para resolver, vamos usar a transformação pelo logaritmo e depois aplicar l’Hôpital.

Passo 2

Definimos
L = limxto0^+(1+sin(x))^1tan(x)
e consideramos
ln L = limxto0^+lnl(1+sin(x)r)tan(x)
Se conseguirmos esse limite, então L = e^ln L.

Passo 3

Note que para xto0 temos ln(1+sin(x))to0 e tan(x)to0, ou seja, a forma é 0/0. Podemos aplicar l’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x.

Passo 4

A derivada do numerador é
ddxlnl(1+sin(x)r) =cos(x)1+sin(x),
e a derivada do denominador é
ddxtan(x)=sec^2(x)
Logo,
ln L = limxto0^+ cos(x)/(1+sin(x))sec^2(x) = limxto0^+cos(x)1+sin(x)cdotcos^2(x) = limxto0^+cos^3(x)1+sin(x)
Quando xto0, cos^3(x)to1 e 1+sin(x)to1, então
ln L = 1

Passo 5

Como ln L=1, concluímos que
L = e^ln L = e^1 = e

Resposta

e

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