Calcule cada um dos limites
lim x 0^-(1+x)^ln |x|

Passo 1

O enunciado pede
L = limxto0^-(1+x)^ln|x|
Aqui vemos que ao xto0^- temos 1+xto1 e ln|x|to-infty, ou seja, formamos o tipo indeterminado 1^-infty. Para resolver, vamos usar a técnica de reescrever a potência como exponencial.

Passo 2

Seja
L = limxto0^-(1+x)^ln|x|
Tomamos o logaritmo natural (supondo L>0) para estudar o expoente:
ln L = limxto0^-lnl((1+x)^ln|x|r) = limxto0^-l(ln|x|r),ln(1+x)

Passo 3

Precisamos então calcular
limxto0^-ln|x|;ln(1+x)
Como xto0, usamos a aproximação
ln(1+x)=x+o(x)
Logo
ln|x|;ln(1+x) = ln|x|,(x+o(x)) = x,ln|x| + ol(xln|x|r)
Basta ver que
limxto0^-x,ln|x| = limhto0^+(-h)ln h = -limhto0^+hln h =0,
pois hln hto0 quando hto0^+. Assim
limxto0^-ln|x|;ln(1+x)=0

Passo 4

Concluímos que
ln L = 0 Longrightarrow L = e^0 = 1

Resposta

1

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