Calcule cada um dos limites
lim x 0(1+tg x)^1 / x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0(1+tan x)^1/x
O conteúdo principal é usar limites envolvendo potências e a técnica de logaritmo para reescrever a expressão de forma mais manejável.

Passo 2

Definimos
L = limxto 0(1+tan x)^1/x
Para achar L, tome o logaritmo natural e use a troca de limite:
ln L = limxto 0 lnl(1+tan xr)x

Passo 3

Reescreva o quociente de forma a usar dois limites notáveis:
lnl(1+tan xr)x = lnl(1+tan xr)tan x;cdot;tan xx

Passo 4

Agora use os limites conhecidos:
  1. limuto 0ln(1+u)u=1, aplicando com u=tan x.
  2. limxto 0tan xx=1.
    Logo
ln L = limxto 0ln(1+tan x)tan x;cdot;limxto 0tan xx =1cdot1=1

Passo 5

Retornando à L, temos
L = e^ln L = e^1 = e

Resposta

e

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