Calcule cada um dos limites
lim x 0(1+x)^cotg x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0(1+x)^cot x
Quando xto0 temos 1+xto1 e cot x=cos xsin xsim1xtoinfty, ou seja, é uma indeterminação do tipo 1^infty. Para resolver, vamos reescrever a potência em termos de (1+x)^1/x e usar propriedades de limites.

Passo 2

Reescrevemos a expressão observando que
(1+x)^cot x =l((1+x)^1/xr)^xcot x

Passo 3

Agora calculamos separadamente os dois limites envolvidos:
  1. limxto0(1+x)^1/x=e, pois é o limite clássico que define e.
  2. limxto0xcot x =limxto0xcos xsin x =cos0limxto0(sin x)/x =11=1

Passo 4

Como
(1+x)^cot x =l((1+x)^1/xr)^xcot x,
pelo produto de limites temos
limxto0(1+x)^cot x =(limxto0(1+x)^1/x)^limxto0(xcot x) =e^1=e

Resposta

e

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