Determine uma curva no plano que satisfaz a equação diferencial
e que passa pelo ponto
. Esta curva é a única solução?
Passo 1
O enunciado pede uma curva no plano que satisfaz a equação diferencial
e que passa por
.
O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos identificar e
, verificar que não é exata, achar um fator integrante em função de
, tornar a equação exata e, então, achar a solução geral e impor a condição inicial.
O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos identificar
Passo 2
Escrevendo
vemos que
logo não é exata, pois
.
Procuramos um fator integrante . Para isso, usamos
Procuramos um fator integrante
que depende só de
. Assim
Passo 3
Multiplicando a equação por
obtemos
onde
Verificamos que agora
então é exata.
Passo 4
Como é exata, existe
tal que
Integramos em
:
Para determinar
, usamos
Comparando, cancelam os termos em
e sobra
Assim
Passo 5
A solução implícita geral é
Impondo a condição
, em
temos
Logo a curva procurada satisfaz
Passo 6
Podemos resolver explicitamente para
. Da equação quadrática em
vem
Como queremos
, escolhemos o sinal
. Assim
Passo 7
Sobre unicidade: escrevendo a ODE em forma normal
a função do lado direito é contínua em torno de
e sua derivada parcial em
também, pois
nessa região. Pelo teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, a solução que passa por
é única.
Resposta
A curva que passa por
é implicitamente
ou explicitamente
Essa solução é única.