Determine uma curva no plano que satisfaz a equação diferencial
x y d x-(2 y+x^2) d y=0
e que passa pelo ponto (x, y)=(0,1). Esta curva é a única solução?

Passo 1

O enunciado pede uma curva no plano que satisfaz a equação diferencial
x,y,dx ;-;(2y + x^2),dy ;=;0
e que passa por (x,y)=(0,1).
O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos identificar M(x,y) e N(x,y), verificar que não é exata, achar um fator integrante em função de y, tornar a equação exata e, então, achar a solução geral e impor a condição inicial.

Passo 2

Escrevendo
M(x,y)=x,y, N(x,y)=-(2y+x^2),
vemos que
partial Mpartial y=x, partial Npartial x=-2x,
logo não é exata, pois xneq -2x.
Procuramos um fator integrante mu(y). Para isso, usamos
partial N/partial x - partial M/partial yM =-2x - xx,y = -3y,
que depende só de y. Assim
mu(y)=expl(integral -tfrac3y,dyr) =exp(-3ln|y|) =y^-3

Passo 3

Multiplicando a equação por y^-3 obtemos
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy =0,
onde
M^*(x,y)=x,y^-2, N^*(x,y)=-(2y + x^2),y^-3 =-2y^-2-x^2y^-3
Verificamos que agora
partial M^*partial y =partialpartial y(x,y^-2) =-2x,y^-3, partial N^*partial x =partialpartial x(-2y^-2-x^2y^-3) =-2x,y^-3,
então é exata.

Passo 4

Como é exata, existe phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M^*(x,y)=x,y^-2
Integramos em x:
phi(x,y)=integral x,y^-2,dx =x^22,y^-2+h(y)
Para determinar h(y), usamos
partial phipartial y =-x^2,y^-3+h'(y) stackrel!=N^*(x,y)=-2y^-2-x^2y^-3
Comparando, cancelam os termos em -x^2y^-3 e sobra
h'(y)=-2y^-2 ;Longrightarrow; h(y)=2y^-1
Assim
phi(x,y)=x^22y^2+2y =constante

Passo 5

A solução implícita geral é
x^22y^2+2y=C
Impondo a condição y(0)=1, em x=0 temos
0+21=C ;Longrightarrow;C=2
Logo a curva procurada satisfaz
x^22y^2+2y=2 Long<=ftrightarrow x^2+4y-4y^2=0

Passo 6

Podemos resolver explicitamente para y. Da equação quadrática em y
4y^2-4y-x^2=0
vem
y=4pmraiz16+16x^28 =1pmraiz1+x^22
Como queremos y(0)=1, escolhemos o sinal +. Assim
y(x)=1+raiz1+x^22

Passo 7

Sobre unicidade: escrevendo a ODE em forma normal
dydx =x,y2y+x^2,
a função do lado direito é contínua em torno de (0,1) e sua derivada parcial em y também, pois 2y+x^2neq0 nessa região. Pelo teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, a solução que passa por (0,1) é única.

Resposta

A curva que passa por (0,1) é implicitamente
x^2+4y-4y^2=0,
ou explicitamente
y(x)=1+raiz1+x^22
Essa solução é única.

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