Obtenha a solução geral de
x y^prime=(x-1) y+e^x tg x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x,y'=(x-1),y+e^xtan x
Isso é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocar na forma padrão
y'+P(x),y=Q(x),
achar o fator integrante, e depois integrar.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x (assumindo xneq0), obtemos
y'-x-1x,y=e^xtan xx
Portanto
P(x)=-x-1x=-1+1x, Q(x)=e^xtan xx

Passo 3

O fator integrante é
I(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integrall(-1+tfrac1xr)dxr) =expl(-x+ln|x|r) =x,e^-x

Passo 4

Multiplicando a EDO original por I(x), o lado esquerdo vira derivada exata:
x e^-xy'+x e^-xl(-1+tfrac1xr)y =ddxl(x e^-xyr),
enquanto o lado direito fica
x e^-x,e^xtan xx=tan x
Logo
ddxl(x e^-xyr)=tan x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x e^-xy=integraltan x,dx=-lnl|cos xr|+C

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral:
y=e^xxl(-lnlvertcos xrvert+Cr) =e^xxl(C-lnlvertcos xrvertr)

Resposta

y=e^xxl(C-lnlvertcos xrvertr),
onde C é constante arbitrária.

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