Considere a seguinte função
f(x, y)=y^3+3 x^2 y+6 x y
[1,5 pt.] a) Classifique os pontos críticos de f no R^2;
[0,5 pt. ] b) Obtenha os extremos absolutos de f no segmento y=-x,|x| <= 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=y^3+3x^2y+6xy
e pede duas coisas:
– (a) Classificar todos os pontos críticos de f em R^2, ou seja, achar onde nabla f=0 e usar o teste da matriz Hessiana.
– (b) Encontrar os extremos absolutos de f no segmento restrito por y=-x com lvert xrvert<=2, usando derivadas de uma função de variável única.

Passo 2

Vamos achar os pontos críticos calculando as derivadas parciais e igualando a zero:
partial fpartial x=6y(x+1),
partial fpartial y=3y^2+3x^2+6x
Igualando a zero, temos o sistema
6y(x+1)=0, 3y^2+3x^2+6x=0;Longrightarrow;y(x+1)=0,;y^2+x^2+2x=0
Caso 1: y=0 x^2+2x=0Rightarrow x=0 ou x=-2.
Caso 2: x=-1 y^2+(-1)^2+2(-1)=y^2-1=0Rightarrow y=pm1.
Logo os críticos são
(0,0),;(-2,0),;(-1,1),;(-1,-1)

Passo 3

Para classificar usamos a Hessiana
fxx=6y, fxy=6(x+1), fyy=6y,
e seu determinante
D = fxxfyy-fxy^2 =36l(y^2-(x+1)^2r)
Se D>0 e fxx>0 é mínimo; se D>0 e fxx<0 é máximo; se D<0 é sela.

Passo 4

Avaliação em cada ponto:
– Em (0,0) e (-2,0) temos y=0 e (x+1)^2=1, logo D=36(0-1)<0: pontos de sela.
– Em (-1,1) temos y=1, x+1=0, então D=36(1-0)>0 e fxx=6>0: mínimo local.
– Em (-1,-1) temos y=-1, x+1=0, então D=36(1-0)>0 e fxx=-6<0: máximo local.

Passo 5

Agora restrito ao segmento y=-x. Definimos
g(x)=fl(x,-xr) =-4x^3-6x^2
Derivando,
g'(x)=-12x^2-12x=-12x(x+1),
zerando dá críticos em x=0 e x=-1. Avaliamos em x=-2,-1,0,2:
g(-2)=8, g(-1)=-2, g(0)=0, g(2)=-56
No intervalo [-2,2] o máximo é 8 em x=-2 (ou seja (-2,2)) e o mínimo é -56 em x=2 (ou seja (2,-2)).

Resposta

(a) Pontos de sela em (0,0) e (-2,0); mínimo local em (-1,1); máximo local em (-1,-1).
(b) No segmento y=-x, max f=8 em (-2,2) e min f=-56 em (2,-2).

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