Considere a seguinte função
[1,5 pt.] a) Classifique os pontos críticos de
no
;
pt.
b) Obtenha os extremos absolutos de
no segmento
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
– (a) Classificar todos os pontos críticos de em
, ou seja, achar onde
e usar o teste da matriz Hessiana.
– (b) Encontrar os extremos absolutos de no segmento restrito por
com
, usando derivadas de uma função de variável única.
– (a) Classificar todos os pontos críticos de
– (b) Encontrar os extremos absolutos de
Passo 2
Vamos achar os pontos críticos calculando as derivadas parciais e igualando a zero:
Igualando a zero, temos o sistema
Caso 1:
dá
ou
.
Caso 2: dá
.
Logo os críticos são
Caso 2:
Logo os críticos são
Passo 3
Para classificar usamos a Hessiana
e seu determinante
Se
e
é mínimo; se
e
é máximo; se
é sela.
Passo 4
Avaliação em cada ponto:
– Em e
temos
e
, logo
: pontos de sela.
– Em temos
,
, então
e
: mínimo local.
– Em temos
,
, então
e
: máximo local.
– Em
– Em
– Em
Passo 5
Agora restrito ao segmento
. Definimos
Derivando,
zerando dá críticos em
e
. Avaliamos em
:
No intervalo
o máximo é
em
(ou seja
) e o mínimo é
em
(ou seja
).
Resposta
(a) Pontos de sela em
e
; mínimo local em
; máximo local em
.
(b) No segmento ,
em
e
em
.
(b) No segmento