Calcule cada um dos limites
lim x 0^+(cossec x-cossec 2 x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0^+l(csc x - csc 2xr)
Este tipo de limite envolve funções trigonométricas que se tornam singulares em zero. Para resolver, vamos usar o comportamento assintótico de sin x próximo de zero e a expansão de Taylor de csc x.

Passo 2

Recordamos a expansão de Taylor de sin x em torno de zero:
sin x = x - tfracx^36 + O(x^5)
Invertendo essa série, obtemos
csc x = 1sin x = 1x + x6 + O(x^3)
De modo análogo, para sin 2x temos
sin 2x = 2x - tfrac(2x)^36 + O(x^5) =2x - 4x^33 + O(x^5),
e portanto
csc 2x = 12x + 2x6 + O(x^3) = 12x + x3 + O(x^3)

Passo 3

Agora subtraímos as duas expansões:
csc x - csc 2x = l(1x + x6 + O(x^3)r) - l(12x + x3 + O(x^3)r) = 1x - 12x + l(x6-x3r) + O(x^3) = 12x - x6 + O(x^3)
Para xto0^+, o termo dominante é tfrac12x, que cresce sem limite.

Resposta

limxto0^+(csc x - csc 2x) = +infty

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