(6 pontos) Em um certo jogo de apostas, a probabilidade de ganhar 49 reais apostando x >= 0 reais é dada por p(x)=x1+x. O ganho esperado em função do valor da aposta é 49 p(x). O lucro esperado é o ganho esperado menos o valor da aposta, isto é, 49 p(x)-x. Qual é o valor da aposta que maximiza o lucro esperado?

Passo 1

O enunciado dá a probabilidade de ganhar 49 reais ao apostar x>=0 reais como
p(x)=x1+x,
então o lucro esperado é
L(x)=49,p(x)-x=49x1+x-x
O conteúdo é otimização de função de uma variável, que faremos usando derivada.

Passo 2

Escrevemos com clareza a função lucro a ser maximizada:
L(x)=49x1+x-x

Passo 3

Calculamos a primeira derivada L'(x). Pela regra do quociente em 49x1+x e subtraindo a derivada de x, temos
L'(x) =49l[(1+x)cdot1 - xcdot1r](1+x)^2 - 1 =49(1+x)^2-1

Passo 4

Para achar o crítico, igualamos L'(x)=0:
49(1+x)^2-1=0 Longrightarrow 49(1+x)^2=1 Longrightarrow (1+x)^2=49 Longrightarrow x=6
(ignoramos 1+x=-7 pois x>=0).

Passo 5

Verificamos que é máximo conferindo a segunda derivada:
L''(x)=-98(1+x)^3<0forall x>=0,
logo x=6 de fato maximiza L(x).

Resposta

O valor da aposta que maximiza o lucro esperado é 6 reais.

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