(6 pontos) Em um certo jogo de apostas, a probabilidade de ganhar 49 reais apostando
reais é dada por
. O ganho esperado em função do valor da aposta é
. O lucro esperado é o ganho esperado menos o valor da aposta, isto é,
. Qual é o valor da aposta que maximiza o lucro esperado?
Passo 1
O enunciado dá a probabilidade de ganhar
reais ao apostar
reais como
então o lucro esperado é
O conteúdo é otimização de função de uma variável, que faremos usando derivada.
Passo 2
Escrevemos com clareza a função lucro a ser maximizada:
Passo 3
Calculamos a primeira derivada
. Pela regra do quociente em
e subtraindo a derivada de
, temos
Passo 4
Para achar o crítico, igualamos
:
(ignoramos
pois
).
Passo 5
Verificamos que é máximo conferindo a segunda derivada:
logo
de fato maximiza
.
Resposta
O valor da aposta que maximiza o lucro esperado é
reais.