Calcule cada um dos limites
lim x infty 2 x^4e^3 x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limxtoinfty2x^4e^3x
O conteúdo envolve limites no infinito e comparação de taxas de crescimento entre polinômios e exponenciais. Vamos usar a Regra de L’Hôpital, pois identificamos forma indeterminada infty/infty.

Passo 2

Ao substituir xtoinfty, o numerador 2x^4toinfty e o denominador e^3xtoinfty, caracterizando infty/infty. A Regra de L’Hôpital afirma que, nessas condições,
limxtoinftyf(x)g(x) =limxtoinftyf'(x)g'(x),
contanto que o novo limite exista ou seja pminfty.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hôpital quatro vezes, pois o numerador é um polinômio de grau 4. Cada derivada de e^3x traz um fator 3. Assim, depois de quatro derivações, temos
d^4dx^4(2x^4)d^4dx^4(e^3x) =483^4,e^3x =4881,e^3x

Passo 4

Quando xtoinfty, o termo e^3xtoinfty, logo
4881,e^3x;longrightarrow;0
Portanto o limite original também é zero.

Resposta

0

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