(1,5 pts) Determine o(s) vetor(es) w=x i+y j+z k tais que w cdot(2 i-3 k)=6 e w times(2 i-3 k)=projj v, onde v=(-1,4,2).

Passo 1

O enunciado pede o vetor w=xvec i+yvec j+zvec k que satisfaz duas condições:
  1. O produto escalar
wcdot(2vec i-3vec k)=6
  1. O produto vetorial
wtimes(2vec i-3vec k) =projvec joverrightarrow v,
onde overrightarrow v=(-1,4,2).
O conteúdo é cálculo de produto escalar, produto vetorial e projeção ortogonal de um vetor em direção a um vetor unitário.

Passo 2

Vamos calcular a projeção de overrightarrow v sobre vec j. Como vec j é unitário,
projvec joverrightarrow v =l(overrightarrow vcdotvec jr),vec j =4,vec j,
pois overrightarrow vcdotvec j=4.

Passo 3

Escrevendo a primeira condição em coordenadas, sejam
overrightarrow w=(x,y,z) e vec a=2vec i-3vec k=(2,0,-3).
O produto escalar é
overrightarrow wcdotvec a =2x-3z
e deve ser igual a 6. Logo,
2x-3z=6

Passo 4

Agora o produto vetorial overrightarrow wtimesvec a. Em coordenadas:
(x,y,z)times(2,0,-3) =l(ycdot(-3)-zcdot0,;zcdot2 - xcdot(-3),;xcdot0 - ycdot2r) =(-3y,;2z+3x,;-2y)
Essa expressão deve ser igual a 4vec j=(0,4,0). Assim obtemos o sistema
-3y=0, 2z+3x=4, -2y=0
As duas últimas equações de y se reduzem a y=0.

Passo 5

Ficamos então com o sistema em
Para resolver, multiplica-se a primeira por :
Somando as duas, obtemos
Substituindo em :

Resposta

overrightarrow w =2413,vec i+0,vec j-1013,vec k =2413,vec i-1013,vec k

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