(1,5 pts) Determine o(s) vetor(es)
tais que
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede o vetor
que satisfaz duas condições:
- O produto escalar
- O produto vetorial
onde
.
O conteúdo é cálculo de produto escalar, produto vetorial e projeção ortogonal de um vetor em direção a um vetor unitário.
O conteúdo é cálculo de produto escalar, produto vetorial e projeção ortogonal de um vetor em direção a um vetor unitário.
Passo 2
Vamos calcular a projeção de
sobre
. Como
é unitário,
pois
.
Passo 3
Escrevendo a primeira condição em coordenadas, sejam
e
.
O produto escalar é
O produto escalar é
e deve ser igual a
. Logo,
Passo 4
Agora o produto vetorial
. Em coordenadas:
Essa expressão deve ser igual a
. Assim obtemos o sistema
As duas últimas equações de
se reduzem a
.
Passo 5
Ficamos então com o sistema em
Para resolver, multiplica-se a primeira por :
Somando as duas, obtemos
Substituindo em
: