Calcule a derivada da função dada.
f(x)=cos ^3(xx+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cos^3!l(u(x)r)
onde
u(x)=xx+1
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra da cadeia para funções compostas e, dentro dela, o uso da regra do quociente para u(x).

Passo 2

Primeiro identificamos a derivada da parte exterior. Se temos
f(x)=l(v(x)r)^3 com v(x)=cos!l(u(x)r),
então pela regra da cadeia
f'(x)=3l(v(x)r)^2cdot v'(x)
Mas v'(x) também é obtido por cadeia, pois
v(x)=cos!l(u(x)r) Longrightarrow v'(x)=-sin!l(u(x)r),cdot u'(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x) usando a regra do quociente para
u(x)=xx+1
Temos
u'(x) =(x+1)cdot1 - xcdot1(x+1)^2 =1(x+1)^2

Passo 4

Juntando tudo:
f'(x) =3l(cos(u(x))r)^2;l(-sin(u(x))r);1(x+1)^2 =-3,cos^2!l(u(x)r),sin!l(u(x)r)(x+1)^2
Substituindo u(x)=xx+1, obtemos a forma final.

Resposta

f'(x) =-3,cos^2!!l(xx+1r),sin!!l(xx+1r)(x+1)^2

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