Calcule cada um dos limites
lim x infty e^x+1x^4+x^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftye^x+1x^4+x^3
Para xtoinfty, tanto e^x+1 quanto x^4+x^3 vão a infty, de modo que temos uma forma indeterminada tfracinftyinfty. Podemos usar a regra de l’Hôpital ou argumentos de crescimento assintótico.

Passo 2

Um argumento qualitativo é que a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio. Em particular, para todo ninN vale
limxtoinftye^xx^n=infty
Logo, para grandes x
e^x+1x^4+x^3 sim e^xx^4 ;longrightarrow;infty

Passo 3

Para formalizar com l’Hôpital, derivamos numerador e denominador até eliminar a indeterminação:
1ª derivada
limxtoinftye^x4x^3+3x^2,
ainda tfracinftyinfty.
2ª derivada
limxtoinftye^x12x^2+6x,
ainda tfracinftyinfty.
3ª derivada
limxtoinftye^x24x+6,
ainda tfracinftyinfty.
4ª derivada
limxtoinftye^x24 =infty
Portanto, o limite original é +infty.

Resposta

+infty

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