Calcule cada um dos limites
lim x 0^+(cotg x)^x^2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0^+(cotg x)^x^2
O conteúdo envolvido é limite de indeterminação do tipo infty^0. Vamos usar a transformação logarítmica, equivalentes para funções trigonométricas ( sin x sim x, cos x sim 1) e a continuidade da função exponencial.

Passo 2

Definimos
y = (cotgx)^x^2,
logo
ln y = x^2,lnl(cotgxr)
Se conseguirmos
L = limxto0^+ln y,
então
limxto0^+y = e^L

Passo 3

Para xto0^+ temos
sin x sim x, cos x sim 1,
então
cotgx = cos xsin xsim1x,
e
lnl(cotgxr)simln!l(tfrac1xr)=-ln x
Logo
x^2,lnl(cotgxr)sim -,x^2ln x
Como limxto0^+x^2ln x=0, segue
L = limxto0^+x^2lnl(cotgxr)=0

Passo 4

Como limxto0^+ln y=0, então
limxto0^+y = e^0=1

Resposta

1

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