Calcule cada um dos limites
lim x 0^+ x(ln x)^2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0^+x(ln x)^2.
Esse limite tem a forma indeterminada 0cdot(infty). Para resolver, faremos a mudança de variável
x=e^-t, de modo que xto0^+ corresponde a tto+infty, e usaremos o fato de que a exponencial domina qualquer polinômio.

Passo 2

Com x=e^-t e t=-ln x, obtemos
x(ln x)^2 ;=; e^-t(-t)^2 ;=; t^2,e^-t

Passo 3

Agora analisamos
limtto+inftyt^2e^-t
Como e^t cresce muito mais rápido que t^2, segue
limtto+inftyt^2e^-t=0
Pela mudança de variável, o limite original também é 0.

Resposta

0

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