Um modelo simples para a forma de um tsunami (onda gigantesca provocada por maremoto ou tempestade) é dado por
d Wd x=W raiz4-2 W
onde W(x)>0 é a altura da onda expressa como uma função de sua posição em relação a um ponto situado longe da costa.
a) Resolva a equação diferencial.
b) Use um software para obter o gráfico de todas as soluções que satisfazem a condição inicial W(0)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dWdx = W raiz4 - 2W,
onde W(x)>0. O conteúdo aqui é EDO separável. Vamos separar variáveis, integrar para obter a solução geral e depois impor a condição inicial W(0)=2. Por fim, usamos um software para plotar a solução particular.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dWW,raiz4-2W = dx
Em seguida, integre ambos os lados:
integral dWW,raiz4-2W = integral dx

Passo 3

Para a integral à esquerda, faça as substituições
u = 4 - 2W, du = -2,dW,
t = raizu, du = 2t,dt
O cálculo leva a
integral dWWraiz4-2W = 12ln!gl|raiz4-2W-2raiz4-2W+2gr| = x + C

Passo 4

Resolva para W. Deixa-se K=e^2C e obtém-se a forma explícita da solução geral
W(x) = 8,K,e^2xl(1+K,e^2xr)^2

Passo 5

Use a condição inicial W(0)=2:
2 = 8,K(1+K)^2 ;Longrightarrow;(1+K)^2=4K ;Longrightarrow;K=1
Logo a solução particular é
W(x) = 8,e^2xl(1+e^2xr)^2

Passo 6

Para gerar o gráfico em Python/Matplotlib, por exemplo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-5, 5, 400)
W = 8*np.exp(2*x)/(1 + np.exp(2*x))**2

plt.plot(x, W, linewidth=2)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('W(x)')
plt.title('Perfil do tsunami: W(0)=2')
plt.grid(True)
plt.show()

Resposta

a) A solução geral é
W(x) = 8,K,e^2xl(1+K,e^2xr)^2, KinR^+
A solução que satisfaz W(0)=2 corresponde a K=1, ou seja
W(x) = 8,e^2xl(1+e^2xr)^2
b) O gráfico dessa solução é obtido pelo código mostrado no Passo 6, resultando numa “barragem” central em x=0 com W(0)=2 que decai para zero à medida que lvert xrverttoinfty.

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