Um modelo simples para a forma de um tsunami (onda gigantesca provocada por maremoto ou tempestade) é dado por
onde é a altura da onda expressa como uma função de sua posição em relação a um ponto situado longe da costa.
a) Resolva a equação diferencial.
b) Use um software para obter o gráfico de todas as soluções que satisfazem a condição inicial .
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
onde . O conteúdo aqui é EDO separável. Vamos separar variáveis, integrar para obter a solução geral e depois impor a condição inicial . Por fim, usamos um software para plotar a solução particular.
Passo 2
Separe as variáveis escrevendo
Em seguida, integre ambos os lados:
Passo 3
Para a integral à esquerda, faça as substituições
O cálculo leva a
Passo 4
Resolva para W. Deixa-se K=e^2C e obtém-se a forma explícita da solução geral
Para gerar o gráfico em Python/Matplotlib, por exemplo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-5, 5, 400)
W = 8*np.exp(2*x)/(1 + np.exp(2*x))**2
plt.plot(x, W, linewidth=2)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('W(x)')
plt.title('Perfil do tsunami: W(0)=2')
plt.grid(True)
plt.show()
Resposta
a) A solução geral é
W(x) = 8,K,e^2xl(1+K,e^2xr)^2, KinR^+
A solução que satisfaz W(0)=2 corresponde a K=1, ou seja
W(x) = 8,e^2xl(1+e^2xr)^2
b) O gráfico dessa solução é obtido pelo código mostrado no Passo 6, resultando numa “barragem” central em x=0 com W(0)=2 que decai para zero à medida que lvert xrverttoinfty.