Calcule cada um dos limites
lim x pi / 2(cos x)^x-pi / 2

Passo 1

O problema pede
limxto pi/2(cos x)^,x-pi/2
Observamos que, quando xto pi/2, temos cos xto0 e x-pi/2to0, ou seja, a expressão é da forma indeterminada 0^0. Para resolver, vamos usar a estratégia de escrever
(cos x)^,x-pi/2 = expl((x-pi/2)ln(cos x)r)
e estudar o limite do expoente.

Passo 2

Defina
G(x) = (x-pi/2),lnl(cos xr)
Então
limxto pi/2(cos x)^,x-pi/2 = exp!l(limxto pi/2G(x)r),
desde que o limite de G(x) exista.

Passo 3

Para analisar G(x) faça a mudança de variável
h = x - pi/2,
de modo que hto0 quando xtopi/2. Note também que
cos x = cosl(pi/2 + hr) = -sin h
Para h pequeno vale sin h sim h, logo
cos x = -sin h sim -h
Quando xtopi/2^-, h<0 e cos x>0, então
ln(cos x) = lnl(-h + o(h)r) = ln|h| + o(1)
Portanto
G(x) = hl(ln|h| + o(1)r) = hln|h| + o(h)
Mas sabemos que
limhto0hln|h| = 0,
então
limxto pi/2G(x) = 0

Passo 4

Voltando à expressão original, como lim G(x)=0, temos
limxto pi/2(cos x)^,x-pi/2 = exp(0) = 1

Resposta

1

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