(8 pontos) Calcule os limites e simplifique sua resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Esse é um caso de indeterminação do tipo
. Para resolvê-lo, vamos usar a expansão em série de Taylor de
em torno de
.
Passo 2
Verificamos a forma indeterminada por substituição direta:
Logo, temos
tfrac00 e podemos aplicar Taylor ou L’Hôpital.
Passo 3
Usando a série de Taylor de
ln(1+x) até a ordem
x^3 , temos
Passo 4
Subtraindo
x , o denominador vira
Passo 5
Formamos a razão e simplificamos:
e, ao fazer
xto0 , o termo
tfracx3+o(x) some, ficando