(8 pontos) Calcule os limites e simplifique sua resposta:
lim x 0 x^2ln (1+x)-x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0x^2ln(1+x)-x
Esse é um caso de indeterminação do tipo tfrac00. Para resolvê-lo, vamos usar a expansão em série de Taylor de ln(1+x) em torno de x=0.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada por substituição direta:
numerador = x^2 xrightarrowxto0 0, denominador = ln(1+x)-x xrightarrowxto0 0-0 = 0
Logo, temos tfrac00 e podemos aplicar Taylor ou L’Hôpital.

Passo 3

Usando a série de Taylor de ln(1+x) até a ordem x^3, temos
ln(1+x)=x-x^22+x^33+o(x^3)

Passo 4

Subtraindo x, o denominador vira
ln(1+x)-x = l(x-x^22+x^33+o(x^3)r)-x =-x^22+x^33+o(x^3)

Passo 5

Formamos a razão e simplificamos:
x^2ln(1+x)-x =x^2-x^22+x^33+o(x^3) =1-tfrac12+tfracx3+o(x)
e, ao fazer xto0, o termo tfracx3+o(x) some, ficando
limxto0x^2ln(1+x)-x =1-1/2=-2

Resposta

-2

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