(6 pontos) Em cada uma das seguintes afirmações, decida se a mesma é verdadeira ou falsa. Não é necessário justificar. (Dica: Exatamente 2 das afirmações abaixo são verdadeiras)
(a) Toda f:(0,1] R contínua atinge um valor máximo absoluto.
(b) Toda f:[0,1] R contínua atinge um valor máximo absoluto.
(c) Se f^prime(c)=0 então f atinge um máximo ou um mínimo local no ponto c.
(d) Toda f: R R periódica de período 1 e contínua atinge um valor máximo absoluto.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada uma das quatro afirmações é verdadeira ou falsa, sabendo que exatamente duas são verdadeiras. Vamos usar o Teorema de Weierstrass (função contínua em conjunto compacto atinge máximo e mínimo) e contraexemplos de funções que falham em obter extremos.

Passo 2

Afirmação (a): “Toda f:(0,1]toR contínua atinge um valor máximo absoluto.”
O conjunto (0,1] não é compacto porque falta o ponto 0. Por exemplo, f(x)=1/x em (0,1] é contínua, mas sup f=+infty não é atingido. Portanto, (a) é falsa.

Passo 3

Afirmação (b): “Toda f:[0,1]toR contínua atinge um valor máximo absoluto.”
Como [0,1] é compacto e f é contínua, o Teorema de Weierstrass garante que f atinge máximo e mínimo absolutos. Logo, (b) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “Se f'(c)=0 então f atinge um máximo ou um mínimo local no ponto c.”
Nem sempre: por exemplo, f(x)=x^3 satisfaz f'(0)=0 mas não tem extremo em 0. Logo, (c) é falsa.

Passo 5

Afirmação (d): “Toda f:RtoR periódica de período 1 e contínua atinge um valor máximo absoluto.”
Restrigindo f a [0,1], por continuidade e compacidade ela atinge um máximo M. Pela periodicidade esse mesmo M vale para todo R. Assim, (d) é verdadeira.

Resposta

(b) e (d) são verdadeiras; (a) e (c) são falsas.

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