(6 pontos) Em cada uma das seguintes afirmações, decida se a mesma é verdadeira ou falsa. Não é necessário justificar. (Dica: Exatamente 2 das afirmações abaixo são verdadeiras)
(a) Toda
contínua atinge um valor máximo absoluto.
(b) Toda
contínua atinge um valor máximo absoluto.
(c) Se
então
atinge um máximo ou um mínimo local no ponto
.
(d) Toda
periódica de período 1 e contínua atinge um valor máximo absoluto.
(a) Toda
(b) Toda
(c) Se
(d) Toda
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada uma das quatro afirmações é verdadeira ou falsa, sabendo que exatamente duas são verdadeiras. Vamos usar o Teorema de Weierstrass (função contínua em conjunto compacto atinge máximo e mínimo) e contraexemplos de funções que falham em obter extremos.
Passo 2
Afirmação (a): “Toda
contínua atinge um valor máximo absoluto.”
O conjunto não é compacto porque falta o ponto
. Por exemplo,
em
é contínua, mas
não é atingido. Portanto, (a) é falsa.
O conjunto
Passo 3
Afirmação (b): “Toda
contínua atinge um valor máximo absoluto.”
Como é compacto e
é contínua, o Teorema de Weierstrass garante que
atinge máximo e mínimo absolutos. Logo, (b) é verdadeira.
Como
Passo 4
Afirmação (c): “Se
então
atinge um máximo ou um mínimo local no ponto
.”
Nem sempre: por exemplo, satisfaz
mas não tem extremo em
. Logo, (c) é falsa.
Nem sempre: por exemplo,
Passo 5
Afirmação (d): “Toda
periódica de período 1 e contínua atinge um valor máximo absoluto.”
Restrigindo a
, por continuidade e compacidade ela atinge um máximo
. Pela periodicidade esse mesmo
vale para todo
. Assim, (d) é verdadeira.
Restrigindo
Resposta
(b) e (d) são verdadeiras; (a) e (c) são falsas.