Calcule os volumes dos sólidos limitados por:
1=x^2+y^2, y >= 0, y+z=1, z=0

Passo 1

O enunciado descreve o sólido limitado lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1 com y>=0, por baixo pelo plano z=0 e por cima pelo plano inclinado y+z=1. O conteúdo aqui é cálculo de volume por dupla integral projetada no plano xy.

Passo 2

Projetamos o sólido no plano xy. A projeção é o semicírculo
D = l(x,y)mid x^2+y^2<=1,;y>=0r
O volume é
V = integral duplaD l(ztop - zbotr),dA = integral duplaD l((1 - y) - 0r),dA = integral duplaD (1 - y),dA

Passo 3

Mudamos para coordenadas polares: x = rcostheta, y = rsintheta, com 0<= r<=1 e 0<=theta<=pi. O elemento de área é dA = r,dr,dtheta. Então
V = integraltheta=0^piintegralr=0^1 (1 - rsintheta),r,dr,dtheta

Passo 4

Dentro da integral:
(1 - rsintheta),r = r - r^2sintheta
Integramos primeiro em r:
integral0^1 l(r - r^2sinthetar),dr = integral0^1 r,dr ;-;sinthetaintegral0^1 r^2,dr = 12 ;-;sinthetacdot13
Logo
V = integral0^pi l(tfrac12 - tfrac13sinthetar),dtheta

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^pi tfrac12,dtheta = 12pi, integral0^pi sintheta,dtheta = 2
Portanto
V = 12pi ;-;13cdot 2 = pi2 - 23

Resposta

V = pi2 - 23

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