Calcule cada um dos limites
lim x pi / 2(sen x)^sec x

Passo 1

Resumindo, queremos calcular limxtopi/2(sin x)^sec x. O conteúdo envolve formas indeterminadas do tipo 1^infty e vamos usar transformação logarítmica e o Teorema de l’Hôpital.

Passo 2

Defina f(x)=(sin x)^sec x. Como xtopi/2, temos sin xto1 e sec xtoinfty, gerando a forma 1^infty. Para resolver, considere
L = limxtopi/2lnl(f(x)r) = limxtopi/2sec xcdotlnl(sin xr) = limxtopi/2ln(sin x)cos x

Passo 3

O quociente ln(sin x)/cos x é 0/0 em x=pi/2, então aplicamos l’Hôpital. Derivando numerador e denominador:
ddxln(sin x) = cot x, ddxcos x = -sin x
Logo,
L = limxtopi/2cot x-sin x = limxtopi/2l(-cos xsin^2 xr)

Passo 4

Avalie em x=pi/2: cos(pi/2)=0 e sin^2(pi/2)=1, portanto L=0. Assim,
limxtopi/2lnl(f(x)r) = 0

Passo 5

Como
limxtopi/2f(x) = limxtopi/2e^ln(f(x)) = e^0 =1,
concluímos o valor do limite.

Resposta

1

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