Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada.
k(x)=raizx+x^-1, x=1

Passo 1

O enunciado dá a função
k(x)=raizx+x^-1
e pede as retas tangente e normal ao seu gráfico no ponto de abscissa x=1.
Para resolver, precisamos
  1. calcular a derivada k'(x),
  2. avaliar k'(1) (inclinação da tangente) e k(1) (altura do ponto),
  3. usar a forma ponto-inclinação para obter a reta tangente,
  4. usar o coeficiente angular negativo recíproco para obter a reta normal.

Passo 2

Derivando cada termo de k(x):
k'(x)=ddxl(x^1/2r)+ddxl(x^-1r) =12x^-1/2-x^-2 =12raizx-1x^2
Agora avaliamos em x=1:
k'(1)=12raiz1-11^2 =12-1=-tfrac12, k(1)=raiz1+1^-1=1+1=2
Portanto, no ponto l(1,2r) a inclinação da tangente é -tfrac12 e a da normal é o negativo recíproco, isto é, 2.

Passo 3

Equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y-2=-tfrac12,(x-1)
Se quisermos escrever na forma reduzida,
y=-tfrac12x+tfrac12+2 =-tfrac12x+tfrac52

Passo 4

Equação da reta normal com coeficiente 2:
y-2=2,(x-1),
isto é,
y=2x

Resposta

Reta tangente:
y-2=-tfrac12(x-1) Long<=ftrightarrow y=-tfrac12x+tfrac52
Reta normal:
y-2=2(x-1) Long<=ftrightarrow y=2x

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