Use o método da variação dos parâmetros para resolver o problema
l y^prime prime+2 y^prime+y=e^-xx y(1)=0, y^prime(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da variação dos parâmetros, a equação
y'' + 2y' + y = e^-xx,
com condições iniciais y(1)=0 e y'(1)=0.
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos precisar (a) encontrar a solução geral da homogênea e (b) usar variação dos parâmetros para obter uma particular, depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
y'' + 2y' + y = 0
O polinômio característico é
r^2 + 2r + 1 = (r + 1)^2 = 0,
portanto raiz dupla r = -1. Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^-x + C2,x e^-x

Passo 3

Agora usamos variação dos parâmetros, escrevendo
yp = u1(x),e^-x + u2(x),x e^-x
As fórmulas padrão dão
W = e^-x & x e^-x [6pt] -(e^-x) & e^-x-x e^-x = e^-2x,
e
u1' = -f(x),y2W = -tfrace^-xx,l(x e^-xr)e^-2x = -1, u2' = f(x),y1W = tfrace^-xx,e^-xe^-2x = 1x ]

Passo 4

Integramos para obter u1 e u2:
u1(x) = integral -1,dx = -x, u2(x) = integral 1x,dx = ln x
Portanto a solução particular é
yp = -x e^-x + (ln x),x e^-x = x e^-x,(ln x - 1)

Passo 5

A solução geral é
y = yh + yp = C1 e^-x + C2,x e^-x + x e^-x(ln x -1)
Aplicamos y(1)=0:
y(1)=e^-1(C1 + C2 + (0-1))=0 ;Rightarrow; C1 + C2 =1
Para y'(1)=0, calculamos
y' = e^-xl[g'(x)-g(x)r], g(x)=C1 + C2 x + x(ln x-1),
g'(x)=C2 + ln x,
y'(1)=e^-1l(C2 + 0 - C1 - C2 - 0 +1r) =e^-1(-C1+1)=0 ;Rightarrow; C1=1,;C2=0

Resposta

boxedy(x)=e^-xl(1 - x + x,ln xr)

Exercícios relacionados