Calcule cada um dos limites
lim x pi / 2 tg x tg 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtopi/2tan x;tan2x
O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções trigonométricas, em particular uma forma indeterminada inftycdot0. Vamos usar substituição e aproximações básicas de funções trigonométricas próximas a pontos singulares.

Passo 2

Note que, quando xtopi/2, temos
tan x=dfracsin xcos xtopminfty (pois cos xto0)
e
tan2xtotanpi=0.
Portanto a expressão é uma forma indefinida inftycdot0.

Passo 3

Para desarmar essa indeterminação, fazemos a mudança de variável
t = x - pi2,
de modo que tto0. Então
tan x = tanl(tfracpi2 + tr) = -cot t,
tan2x = tanl(2(tfracpi2 + t)r) = tan(pi + 2t) = tan2t

Passo 4

Para t muito pequeno usamos as aproximações clássicas
cot t sim 1t, tan2t sim 2t

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão original, obtemos
tan x;tan2x = (-cot t),tan2t sim l(-tfrac1tr),(2t) = -2
Assim o limite vale -2.

Resposta

-2

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