Utilize a regra de L‘Hôspital para calcular cada um dos limites.
lim x 7 ln (x / 7)7-x

Passo 1

O enunciado quer que a gente use a regra de L’Hôpital para calcular o limite
limx to 7 ln(x/7)7-x
Aqui o conteúdo é a Regra de L’Hôpital, que diz que se ao substituir o ponto a em
f(x)g(x)
tivermos a forma indeterminada 0/0 ou infty/infty, podemos trocar pelo limite de
f'(x)g'(x), desde que esse exista.

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma indeterminada no ponto x=7.
Substituindo diretamente,
ln(7/7)=ln(1)=0 e 7-7=0,
logo temos 0/0, então a regra de L’Hôpital é aplicável.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de numerador e denominador em relação a x:
— Numerador: f(x)=ln(x/7). Como
ddxlnl(x/7r) =1x/7cdotddxl(x/7r) =1x/7cdot17 =1x,
temos f'(x)=1/x.
— Denominador: g(x)=7-x
g'(x)=-1

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, o limite original vale o limite do quociente das derivadas:
limx to 7 ln(x/7)7-x =limx to 7 f'(x)g'(x) =limx to 7 1/x-1 =-limx to 71x =-17

Resposta

-17

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