Calcule cada um dos limites
lim x pi / 2 tg x tg 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto pi/2tan x;tan2x
Como tan x tem descontinuidade em x=pi/2, vamos primeiro achar os limites laterais usando a técnica de aproximação x=pi/2pm h, com hto0^+.

Passo 2

Limite pela esquerda ( xtopi/2^-). Seja x=pi/2-h com hto0^+. Então
tan x=tan(pi/2-h)=cot hsim1h
e
tan2x=tan(pi-2h)=-tan2hsim -2h.
Logo
tan x;tan2xsim1hcdot(-2h)=-2
e
limxtopi/2^-tan x;tan2x=-2

Passo 3

Limite pela direita ( xtopi/2^+). Seja x=pi/2+h com hto0^+. Então
tan x=tan(pi/2+h)=-cot hsim-1h
e
tan2x=tan(pi+2h)=tan2hsim 2h.
Logo
tan x;tan2xsiml(-tfrac1hr)cdot(2h)=-2
e
limxtopi/2^+tan x;tan2x=-2

Passo 4

Como ambos os limites laterais existem e valem -2, o limite geral também existe e é -2.

Resposta

limxto pi/2tan x;tan2x=-2

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