Calcule a derivada da função dada.
y=ln (1-x e^-x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = lnl(1 - x e^-xr)
e pede y'. O conteúdo usado será a regra da cadeia aplicada a logaritmo, mais a derivada de produto e de exponencial.

Passo 2

Definimos
u = 1 - x e^-x,
assim y = ln(u). Pela regra da derivada de logaritmo temos
y' = u'u

Passo 3

Agora calculamos u'. Note que u = 1 - v com v = x e^-x, então
u' = -,v'
Para v' usamos a regra do produto:
v' = ddxl(x e^-xr) = xddx(e^-x) + e^-xddx(x) = x(-e^-x) + e^-x = e^-x(1 - x)
Logo
u' = -,e^-x(1 - x)

Passo 4

Substituindo em y' = u'/u, obtemos
y' = -,e^-x(1 - x)1 - x e^-x = (x - 1)e^-x1 - x e^-x

Resposta

y' = (x - 1)e^-x1 - x e^-x

Exercícios relacionados