Calcule cada um dos limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow-4} \sqrt[3]{\frac{x^{2}-16}{x+4}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -4} \sqrt[3]{\frac{x^{2}-16}{x+4}}.
Informações dadas:
  • A expressão dentro da raiz é \dfrac{x^{2}-16}{x+4}.
  • O ponto de interesse é x\to -4.
    O objetivo é calcular o limite quando x se aproxima de -4.

Passo 2

Vamos manipular algebricamente a expressão que está dentro da raiz para simplificar. Primeiro, fatoramos o numerador:
x^{2}-16=(x-4)(x+4).
Substituindo na fração temos, para x\neq -4,
\frac{x^{2}-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4.
Portanto, para todo x diferente de -4 a expressão original é igual a
\sqrt[3]{\frac{x^{2}-16}{x+4}}=\sqrt[3]{x-4}.

Passo 3

Observação sobre domínio e tipo de descontinuidade: a expressão original não está definida exatamente em x=-4 (pois haveria divisão por zero), mas para x próximo de -4 e x\neq-4 ela coincide com \sqrt[3]{x-4}. Assim o limite quando x\to -4 pode ser obtido estudando
\lim_{x\to -4}\sqrt[3]{x-4}.

Passo 4

Usamos aqui uma propriedade simples: a função raiz cúbica t\mapsto\sqrt[3]{t} é contínua em todo \mathbb{R}. Isso significa que
\lim_{x\to -4}\sqrt[3]{x-4}=\sqrt[3]{\lim_{x\to -4}(x-4)}.
Como \lim_{x\to -4}(x-4)=-8, segue
\lim_{x\to -4}\sqrt[3]{x-4}=\sqrt[3]{-8}.

Passo 5

Cálculo final da raiz cúbica: \sqrt[3]{-8}=-2, pois (-2)^{3}=-8. Logo o limite procurado é -2.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova: há uma descontinuidade removível em x=-4 porque a forma simplifica para \sqrt[3]{x-4} para x\neq-4 e o limite existe. Se fosse pedido, poderia definir a função estendida que vale -2 em x=-4 para torná-la contínua.

Resposta

-2

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