Calcule cada um dos limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-2 x^{2}-5 x+6}{x^{2}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1} \frac{x^{3}-2x^{2}-5x+6}{x^{2}+x-2}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão é a razão de dois polinômios: numerador x^{3}-2x^{2}-5x+6 e denominador x^{2}+x-2.
  • Se eu tentar substituir x=1 diretamente, obtenho no numerador 1-2-5+6=0 e no denominador 1+1-2=0. Portanto a forma é a indeterminação \tfrac{0}{0}.
    O objetivo é encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 1.

Passo 2

O que significa a indeterminação \tfrac{0}{0} e como procedemos:
  • A forma \tfrac{0}{0} indica que não dá para concluir o limite só pela substituição; geralmente é preciso simplificar a expressão algébrica para “remover” o fator que causa o zero em cima e embaixo.
  • Uma estratégia muito comum com polinômios é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns (isso corresponde a eliminar uma descontinuidade removível).
    Regra usada: se duas funções f(x) e g(x) são iguais para todos x em algum intervalo, exceto possivelmente em x=1, então
\lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1} g(x).
Portanto vamos tentar fatorar as duas partes.

Passo 3

Fatorando o denominador x^{2}+x-2.
  • Procuramos dois números cuja soma seja 1 (coeficiente de x) e cujo produto seja -2 (termo constante).
  • Esses números são 2 e -1.
    Logo
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).

Passo 4

Fatorando o numerador x^{3}-2x^{2}-5x+6.
  • Como x=1 torna o numerador zero, isso indica que (x-1) é um fator do polinômio (teorema do resto / fator).
  • Faço a divisão sintética por x-1. Coeficientes: 1,\\\ -2,\\\ -5,\\\ 6.
    • Trago 1.
    • Multiplico por 1 e somo: 1 → novo coeficiente -1.
    • Multiplico por 1 e somo: -1 → novo coeficiente -6.
    • Multiplico por 1 e somo: -6 → resto 0.
  • Assim a divisão dá o quociente x^{2}-x-6 e resto 0.
    Portanto
x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x-1)\bigl(x^{2}-x-6\bigr).

Passo 5

Fatorando o quadrático x^{2}-x-6.
  • Procuro dois números cuja soma seja -1 e cujo produto seja -6. Esses números são -3 e 2? Não, -3 e 2 têm soma -1 e produto -6 — perfeito.
  • Então
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Combinando com o passo anterior,
x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x-1)(x-3)(x+2).

Passo 6

Cancelar fatores comuns e simplificar a expressão.
  • Do passo 3 temos o denominador (x-1)(x+2).
  • Do passo 5 temos o numerador (x-1)(x-3)(x+2).
    Logo, para x\neq 1 e x\neq -2,
\frac{x^{3}-2x^{2}-5x+6}{x^{2}+x-2} =\frac{(x-1)(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}=x-3.
Essa igualdade vale para todos x próximos de 1, exceto nos pontos onde cancelamos ( x=1 e x=-2). Para calcular o limite quando x\to 1 podemos usar a função simplificada x-3.

Passo 7

Calcular o limite da função simplificada.
  • Como a expressão simplificada é contínua em x=1, o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto:
\lim_{x\to 1} (x-3)=1-3=-2.
Observação rápida (método alternativo): poderia usar a regra de L’Hôpital porque tínhamos forma \tfrac{0}{0}. Derivando numerador e denominador e avaliando em x=1 também dá -2. Mas a fatoração é mais direta aqui.

Resposta

-2

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