Calcule cada um dos limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão é a razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - Se eu tentar substituir
diretamente, obtenho no numerador e no denominador . Portanto a forma é a indeterminação .
O objetivo é encontrar o valor do limite quandose aproxima de .
Passo 2
O que significa a indeterminação
e como procedemos:
- A forma
indica que não dá para concluir o limite só pela substituição; geralmente é preciso simplificar a expressão algébrica para “remover” o fator que causa o zero em cima e embaixo. - Uma estratégia muito comum com polinômios é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns (isso corresponde a eliminar uma descontinuidade removível).
Regra usada: se duas funçõese são iguais para todos em algum intervalo, exceto possivelmente em , então
Portanto vamos tentar fatorar as duas partes.
Passo 3
Fatorando o denominador
.
- Procuramos dois números cuja soma seja
(coeficiente de ) e cujo produto seja (termo constante). - Esses números são
e .
Logo
Passo 4
Fatorando o numerador
.
- Como
torna o numerador zero, isso indica que é um fator do polinômio (teorema do resto / fator). - Faço a divisão sintética por
. Coeficientes: . - Trago
. - Multiplico por
e somo: → novo coeficiente . - Multiplico por
e somo: → novo coeficiente . - Multiplico por
e somo: → resto .
- Trago
- Assim a divisão dá o quociente
e resto .
Portanto
Passo 5
Fatorando o quadrático
.
- Procuro dois números cuja soma seja
e cujo produto seja . Esses números são e ? Não, e têm soma e produto — perfeito. - Então
Combinando com o passo anterior,
Passo 6
Cancelar fatores comuns e simplificar a expressão.
- Do passo 3 temos o denominador
. - Do passo 5 temos o numerador
.
Logo, parae ,
Essa igualdade vale para todos
próximos de
, exceto nos pontos onde cancelamos (
e
). Para calcular o limite quando
podemos usar a função simplificada
.
Passo 7
Calcular o limite da função simplificada.
- Como a expressão simplificada é contínua em
, o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto:
Observação rápida (método alternativo): poderia usar a regra de L’Hôpital porque tínhamos forma
. Derivando numerador e denominador e avaliando em
também dá
. Mas a fatoração é mais direta aqui.