Calcule cada um dos limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \sqrt{8}} \sqrt{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \sqrt{8}} \sqrt{x^{2}+1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função envolvida é x \mapsto \sqrt{x^{2}+1}.
  • O ponto de aproximação é x=\sqrt{8}.
  • Não há imagens ou dados adicionais.

Passo 2

Primeiro, verificar se a expressão faz sentido perto do ponto e lembrar uma ideia útil para resolver limites de funções “comuns”.
Mini-aula rápida sobre continuidade (útil na prova):
  • Uma função f é contínua em um ponto a quando vale \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Na prática, se soubermos que a função é contínua no ponto, podemos simplesmente substituir x=a para obter o limite.
  • Polinômios e funções como x\mapsto x^{2}+1 são contínuos em todo \mathbb{R}.
  • A função \sqrt{t} é contínua para t>0.
  • Se g é contínua em a e h é contínua em g(a), então a composição x\mapsto h(g(x)) é contínua em a. Logo, se a expressão dentro da raiz for positiva no ponto, podemos usar substituição direta.
No nosso caso, a função interna é x^{2}+1. Como x^{2}+1\ge 1>0 para todo x, a raiz quadrada está bem definida e contínua ali. Portanto a composição \sqrt{x^{2}+1} é contínua em x=\sqrt{8}.

Passo 3

Pela continuidade da função composta, podemos calcular o limite por substituição:
\lim_{x \rightarrow \sqrt{8}} \sqrt{x^{2}+1} = \sqrt{\bigl(\sqrt{8}\bigr)^{2}+1}.

Passo 4

Agora simplificar passo a passo a expressão obtida:
  • Primeiro, \bigl(\sqrt{8}\bigr)^{2}=8, porque a raiz quadrada devolve a raiz principal positiva e elevar ao quadrado anula a raiz.
  • Em seguida, 8+1=9.
  • Finalmente, \sqrt{9}=3 (a raiz quadrada principal de 9 é 3).
Portanto o limite é 3.

Resposta

3

Exercícios relacionados