Calcule cada um dos limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{2}-2}{3 x-3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x^{2}-2}{3x-3}.
Informações fornecidas:
  • Numerador: \,2x^{2}-2\,.
  • Denominador: \,3x-3\,.
    A tarefa é encontrar o valor numérico do limite quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Verificar o que acontece ao substituir x=1 diretamente (teste de substituição):
2\cdot1^{2}-2 = 0,\qquad 3\cdot1-3 = 0,
logo a forma obtida por substituição é \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Quando aparece \dfrac{0}{0} precisamos manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite.

Passo 3

Fatorar o numerador e o denominador para tentar eliminar a causa da indeterminação. Primeiro fatorar um fator comum no numerador:
2x^{2}-2 = 2(x^{2}-1).
Agora usar a identidade diferença de quadrados \,x^{2}-1=(x-1)(x+1)\,:
2(x^{2}-1)=2(x-1)(x+1).
Fatorar o denominador:
3x-3=3(x-1).

Passo 4

Reescrever a fração com as fatorações:
\frac{2x^{2}-2}{3x-3}=\frac{2(x-1)(x+1)}{3(x-1)}.
Para x\neq 1 é possível cancelar o fator comum (x-1) no numerador e no denominador. Observação importante (justificativa): a função original e a função simplificada são iguais para todo x em um intervalo que contém 1, exceto possivelmente no próprio ponto x=1; portanto têm o mesmo limite quando x\to1.
Após o cancelamento obtemos a forma simplificada válida para x\neq1:
\frac{2x^{2}-2}{3x-3}=\frac{2(x+1)}{3}.

Passo 5

A expressão simplificada \dfrac{2(x+1)}{3} é uma função polinomial/racional contínua no ponto x=1. Para funções contínuas, o limite ao ponto é o valor da função nesse ponto. Logo:
\lim_{x\to 1}\frac{2(x+1)}{3}=\frac{2(1+1)}{3}=\frac{4}{3}.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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