Calcule cada um dos limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações fornecidas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
A tarefa é encontrar o valor numérico do limite quandose aproxima de .
Passo 2
Verificar o que acontece ao substituir
diretamente (teste de substituição):
logo a forma obtida por substituição é
, que é uma indeterminação. Quando aparece
precisamos manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite.
Passo 3
Fatorar o numerador e o denominador para tentar eliminar a causa da indeterminação. Primeiro fatorar um fator comum no numerador:
Agora usar a identidade diferença de quadrados
:
Fatorar o denominador:
Passo 4
Reescrever a fração com as fatorações:
Para
é possível cancelar o fator comum
no numerador e no denominador. Observação importante (justificativa): a função original e a função simplificada são iguais para todo
em um intervalo que contém
, exceto possivelmente no próprio ponto
; portanto têm o mesmo limite quando
.
Após o cancelamento obtemos a forma simplificada válida para
:
Passo 5
A expressão simplificada
é uma função polinomial/racional contínua no ponto
. Para funções contínuas, o limite ao ponto é o valor da função nesse ponto. Logo: