Calcule os limites.
(a) \lim _{t \rightarrow 0}(\cos t, \operatorname{sen} t, t \ln t).
(b) \lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{e^{t}-1}{t}, \frac{\sqrt{1+t}-1}{t}, \frac{3}{1+t}\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • O enunciado pede calcular dois limites de funções vetoriais quando t \to 0:
    1. \displaystyle \lim_{t\to 0}\big(\cos t,\operatorname{sen} t, t\ln t\big).
    2. \displaystyle \lim_{t\to 0}\Big(\dfrac{e^{t}-1}{t},\dfrac{\sqrt{1+t}-1}{t},\dfrac{3}{1+t}\Big).
  • Observações importantes extraídas do enunciado:
    • A expressão \ln t aparece no primeiro limite, logo essa componente só está definida para t>0. Portanto o limite dessa componente deve ser entendido como limite à direita, isto é, \displaystyle t\to 0^{+}.
    • Para cada limite vetorial, basta calcular o limite de cada componente separadamente (desde que cada limite componente exista); então o limite do vetor é o vetor dos limites das componentes, por uma propriedade básica de limites de funções vetoriais.

Passo 2

Regra que vou usar (explicação didática e curta):
  • Se \mathbf{f}(t)=(f_1(t),f_2(t),f_3(t)) e \lim_{t\to 0} f_i(t) existe para i=1,2,3, então
\lim_{t\to 0}\mathbf{f}(t)=\Big(\lim_{t\to 0}f_1(t),\lim_{t\to 0}f_2(t),\lim_{t\to 0}f_3(t)\Big).
Isto decorre do fato de que limites são dados componente a componente. Vou aplicar isso: calcular cada componente separadamente e reunir.

Passo 3

Cálculo das primeiras duas componentes do item (a): \cos t e \operatorname{sen} t.
  • As funções t\mapsto\cos t e t\mapsto\operatorname{sen} t são contínuas em t=0. Continuidade aqui significa que o valor da função no ponto é igual ao limite ao aproximar-se do ponto.
  • Portanto
\lim_{t\to 0}\cos t=\cos 0=1, \qquad \lim_{t\to 0}\operatorname{sen} t=\operatorname{sen} 0=0.
(Se preferir uma justificativa elemental: usa-se que \lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}=1, então \operatorname{sen} t = t\cdot(\operatorname{sen} t/t)\to 0\cdot 1=0.)

Passo 4

Cálculo da terceira componente do item (a): \displaystyle \lim_{t\to 0^{+}} t\ln t.
  • Observação: como já disse, esse limite é à direita porque \ln t só existe para t>0.
  • Reescrevo o produto como uma razão para poder usar L’Hôpital:
t\ln t = \frac{\ln t}{1/t}.
Quando t\to 0^{+} temos \ln t \to -\infty e 1/t \to +\infty, então a forma é -\infty/\infty, adequada para aplicar a regra de L’Hôpital.
  • Derivando numerador e denominador em relação a t:
    • \dfrac{d}{dt}(\ln t)=\dfrac{1}{t}.
    • \dfrac{d}{dt}(1/t)=-\dfrac{1}{t^{2}}.
  • Aplicando L’Hôpital:
\lim_{t\to 0^{+}} \frac{\ln t}{1/t} = \lim_{t\to 0^{+}} \frac{1/t}{-1/t^{2}} = \lim_{t\to 0^{+}} (-t) = 0.
  • Logo \displaystyle \lim_{t\to 0^{+}} t\ln t=0.
  • (Comentário informativo: intuitivamente \ln t diverge para -\infty mais lentamente que 1/t diverge para +\infty, então o produto t\ln t vai a 0.)

Passo 5

Concluindo o item (a) juntando as componentes:
  • Pela propriedade de limites componente a componente, os limites que encontramos dão
\lim_{t\to 0}\big(\cos t,\operatorname{sen} t, t\ln t\big) = (1,0,0).

Passo 6

Agora vou calcular as três componentes do item (b) separadamente.
Primeira componente: \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}.
  • Numerador e denominador tendem a 0 quando t\to 0, forma 0/0.
  • Aplicando L’Hôpital (derivando numerador e denominador):
    • \dfrac{d}{dt}(e^{t}-1)=e^{t},
    • \dfrac{d}{dt}(t)=1.
  • Assim
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{e^{t}}{1} = e^{0}=1.
(Outro modo: desenvolver e^{t}=1+t+\dfrac{t^{2}}{2}+\cdots e dividir por t 1+\dfrac{t}{2}+\cdots\to 1.)

Passo 7

Segunda componente: \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}.
  • Para simplificar, multiplico numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{1+t}+1:
\frac{\sqrt{1+t}-1}{t} = \frac{(\sqrt{1+t}-1)(\sqrt{1+t}+1)}{t(\sqrt{1+t}+1)} = \frac{1+t-1}{t(\sqrt{1+t}+1)} = \frac{t}{t(\sqrt{1+t}+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+t}+1}.
  • Tomando limite t\to 0:
\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{1+t}-1}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+t}+1} = \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 8

Terceira componente: \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{3}{1+t}.
  • A função t\mapsto \dfrac{3}{1+t} é contínua em t=0 (denominador não nulo), logo
\lim_{t\to 0}\frac{3}{1+t}=\frac{3}{1+0}=3.

Passo 9

Concluindo o item (b) juntando as componentes:
\lim_{t\to 0}\Big(\frac{e^{t}-1}{t},\frac{\sqrt{1+t}-1}{t},\frac{3}{1+t}\Big) = \Big(1,\tfrac{1}{2},3\Big).

Resposta

(1,0,0)
\displaystyle \left(1,\tfrac{1}{2},3\right)

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