Calcule os limites.
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
-
O enunciado pede calcular dois limites de funções vetoriais quando
: -
. -
.
-
-
Observações importantes extraídas do enunciado:
- A expressão
aparece no primeiro limite, logo essa componente só está definida para . Portanto o limite dessa componente deve ser entendido como limite à direita, isto é, . - Para cada limite vetorial, basta calcular o limite de cada componente separadamente (desde que cada limite componente exista); então o limite do vetor é o vetor dos limites das componentes, por uma propriedade básica de limites de funções vetoriais.
- A expressão
Passo 2
Regra que vou usar (explicação didática e curta):
- Se
e existe para , então
Isto decorre do fato de que limites são dados componente a componente. Vou aplicar isso: calcular cada componente separadamente e reunir.
Passo 3
Cálculo das primeiras duas componentes do item (a):
e
.
- As funções
e são contínuas em . Continuidade aqui significa que o valor da função no ponto é igual ao limite ao aproximar-se do ponto. - Portanto
(Se preferir uma justificativa elemental: usa-se que
, então
.)
Passo 4
Cálculo da terceira componente do item (a):
.
- Observação: como já disse, esse limite é à direita porque
só existe para . - Reescrevo o produto como uma razão para poder usar L’Hôpital:
Quando
temos
e
, então a forma é
, adequada para aplicar a regra de L’Hôpital.
- Derivando numerador e denominador em relação a
: -
. -
.
-
- Aplicando L’Hôpital:
- Logo
- (Comentário informativo: intuitivamente
diverge para mais lentamente que diverge para , então o produto vai a .)
Passo 5
Concluindo o item (a) juntando as componentes:
- Pela propriedade de limites componente a componente, os limites que encontramos dão
Passo 6
Agora vou calcular as três componentes do item (b) separadamente.
Primeira componente:
.
- Numerador e denominador tendem a
quando , forma . - Aplicando L’Hôpital (derivando numerador e denominador):
-
, -
.
-
- Assim
(Outro modo: desenvolver
e dividir por
dá
.)
Passo 7
Segunda componente:
.
- Para simplificar, multiplico numerador e denominador pelo conjugado
:
- Tomando limite
:
Passo 8
Terceira componente:
.
- A função
é contínua em (denominador não nulo), logo
Passo 9
Concluindo o item (b) juntando as componentes: