Calcule o caminho livre médio de nêutrons de 100 keV em sódio líquido. Nesta energia, a seção de choque total do sódio é de 3.4 barn. Sabe-se que a densidade do sódio líquido é de 0,97 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
\lambda=11,6 \mathrm{~cm}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o caminho livre médio (distância média entre colisões) de nêutrons de 100\\ \mathrm{keV} em sódio líquido.
Dados fornecidos:
\text{seção de choque total do sódio: }\sigma = 3{,}4\\ \text{barn}çãó
\text{densidade do sódio líquido: }\rho = 0{,}97\\ \mathrm{g/cm^{3}}óí
O exercício quer o valor numérico de \lambda (em cm). Nada mais foi pedido.

Passo 2

Princípio físico e fórmulas-chave (explicadinho): o caminho livre médio \lambda é a distância média que uma partícula percorre entre colisões probabilísticas com átomos do meio. A fórmula básica é
\lambda=\frac{1}{\Sigma}
onde \Sigma é a seção de choque macroscópica (probabilidade de interação por unidade de comprimento). A seção macroscópica é dada por
\Sigma = n\,\sigma,
com:
  • n = número de átomos por unidade de volume (número de alvos por \mathrm{cm^3});
  • \sigma = seção de choque microscópica (área efetiva de interação de um único átomo), em \mathrm{cm^2}.
Assim, combinando:
\lambda=\frac{1}{n\,\sigma}.
Explico as unidades: se n está em \mathrm{átomos/cm^3}á e \sigma em \mathrm{cm^2}, então n\sigma tem unidade \mathrm{cm^{-1}} e \lambda vem em \mathrm{cm}. Beleza.

Passo 3

Como obter n (número de átomos por \mathrm{cm^3}): usamos
n=\frac{\rho}{A}\,N_{A},
onde:
  • \rho é a densidade em \mathrm{g/cm^{3}} (dado: 0{,}97\\ \mathrm{g/cm^{3}});
  • A é a massa atômica do sódio em \mathrm{g/mol} (usar A\approx22{,}99\\ \mathrm{g/mol});
  • N_{A} é o número de Avogadro N_{A}=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Calculemos passo a passo:
\frac{\rho}{A}=\frac{0{,}97}{22{,}99}\\ \mathrm{mol/cm^{3}}\approx 0{,}0422\\ \mathrm{mol/cm^{3}}.
Multiplicando por N_{A}:
n = 0{,}0422 \times 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{átomos/cm^{3}} \approx 2{,}54\times10^{22}\\ \mathrm{átomos/cm^{3}}.áá

Passo 4

Converter a seção de choque de barn para \mathrm{cm^{2}} (regra: 1\\ \text{barn}=10^{-24}\\ \mathrm{cm^{2}}):
\sigma = 3{,}4\\ \text{barn} = 3{,}4\times10^{-24}\\ \mathrm{cm^{2}}.
Agora calculamos a seção macroscópica:
\Sigma = n\,\sigma = \left(2{,}54\times10^{22}\right)\left(3{,}4\times10^{-24}\right)\\ \mathrm{cm^{-1}}.
Multiplicando:
\Sigma \approx 8{,}636\times10^{-2}\\ \mathrm{cm^{-1}} = 0{,}08636\\ \mathrm{cm^{-1}}.

Passo 5

Calcular \lambda usando \lambda=1/\Sigma:
\lambda=\frac{1}{0{,}08636\\ \mathrm{cm^{-1}}}\approx 11{,}58\\ \mathrm{cm}.
Arredondando de forma adequada (dados com 2–3 algarismos significativos), obtém-se
\lambda \approx 11{,}6\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Checagem rápida e intuição: se a seção de choque fosse maior, \Sigma aumentaria e \lambda diminuiria (mais colisões por unidade de comprimento). Nosso resultado é compatível com a conta direta e com o valor fornecido pelo enunciado.

Resposta

\lambda = 11{,}6\\ \mathrm{cm}

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