Um feixe de nêutrons de 1 MeV com uma intensidade de 5 \times 10^{8} nêutrons / \mathrm{cm}^{2} . \mathrm{s} atinge um alvo fino de \mathrm{C}-12. A área do alvo é de 0,5 \mathrm{~cm}^{2} e sua espessura é de 0,05 \mathrm{~cm}. O feixe tem uma área de seção transversal de 0,1 \mathrm{cm}^{2}. A 1 MeV , a seção de choque total do C -12 é de 2,6 barns e sabe-se que sua densidade é de 1,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Calcule:
(a) A que taxa ocorrem interações no alvo? R=5,2 \times 10^{5} interações / \mathrm{s}
(b) A probabilidade de que um nêutron no feixe sofra uma colisão no alvo? 1%
(c) A seção de choque macroscópica total do C-12 \Sigma=0,209 / \mathrm{cm}
(d) A densidade de colisão no alvo F=1,045 \times 10^{8} \frac{\text { colisões }}{\mathrm{cm}^{3}} \cdot \mathrm{~s}õ

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre nêutrons de energia 1 MeV incidindo num alvo fino de \mathrm{C}-12. Perguntas e dados relevantes:
  • Perguntas:
    (a) Taxa de interações no alvo R (interações por segundo).
    (b) Probabilidade de que um nêutron do feixe sofra uma colisão ao atravessar o alvo.
    (c) Seção de choque macroscópica total do \mathrm{C}-12, \Sigma (em \mathrm{cm}^{-1}).
    (d) Densidade de colisão no alvo F (colisões por \mathrm{cm}^{3}\cdot\mathrm{s}).
  • Dados fornecidos:
    \varphi = 5\times 10^{8}\\ \text{n}/\mathrm{cm}^{2}\cdot\mathrm{s}\quad\text{(fluxo do feixe)}
\text{área do alvo} = 0{,}5\\ \mathrm{cm}^{2}á
\text{espessura do alvo } t = 0{,}05\\ \mathrm{cm}
\text{área de seção transversal do feixe} = 0{,}1\\ \mathrm{cm}^{2}áçã
\sigma = 2{,}6\\ \text{barns} \quad\text{(seção de choque microscópica a 1 MeV)}çãó
\rho = 1{,}6\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}\quad\text{(densidade do C-12)}
N_A = 6{,}022\times 10^{23}\\ \text{átomos/mol},\quad M(\mathrm{C})=12\\ \mathrm{g/mol}á
Observação importante do enunciado: a área do feixe ( 0{,}1\\ \mathrm{cm}^{2}) é menor que a área do alvo ( 0{,}5\\ \mathrm{cm}^{2}), então todo o feixe incide dentro do alvo — ou seja, a área efetiva que recebe nêutrons é a área do feixe.

Passo 2

Calcular a densidade numérica de átomos de \mathrm{C}-12 (número de núcleos por \mathrm{cm}^{3}), N. Fórmula:
N=\frac{\rho\,N_A}{M}
onde \rho é a densidade em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3, N_A é o número de Avogadro e M é a massa molar em \mathrm{g/mol}.
Substituindo valores:
N=\frac{1{,}6\cdot 6{,}022\times10^{23}}{12}
Calcule passo a passo:
\frac{1{,}6}{12}=0{,}133333\ldots
N=0{,}133333\ldots \times 6{,}022\times10^{23}=8{,}02933\times10^{22}\\ \text{átomos}/\mathrm{cm}^{3}á

Passo 3

Converter a seção de choque microscópica de barns para \mathrm{cm}^{2} e calcular a seção de choque macroscópica \Sigma.
Recordando: 1\\ \text{barn}=10^{-24}\\ \mathrm{cm}^{2}. Então
\sigma = 2{,}6\\ \text{barns} = 2{,}6\times10^{-24}\\ \mathrm{cm}^{2}.
A seção de choque macroscópica é dada por
\Sigma = N\,\sigma.
Substituindo:
\Sigma = 8{,}02933\times10^{22}\times 2{,}6\times10^{-24}.
Calcule:
\Sigma = 8{,}02933\times2{,}6\times10^{-2} =20{,}876658\times10^{-2}=0{,}20876658\\ \mathrm{cm}^{-1}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
\Sigma \approx 0{,}209\\ \mathrm{cm}^{-1}.
(Isto responde o item (c).)

Passo 4

Calcular a probabilidade P de colisão de um nêutron ao atravessar uma espessura t do material. A lei de atenuação exponencial diz que a fração que sobrevive sem colidir é \exp(-\Sigma t). Logo a probabilidade de sofrer pelo menos uma interação é
P = 1 - e^{-\Sigma t}.
Substituindo \Sigma e t=0{,}05\\ \mathrm{cm}:
\Sigma t = 0{,}20876658\times 0{,}05 = 0{,}010438329.
P = 1 - e^{-0{,}010438329}.
Para pequenas \Sigma t podemos calcular a exponencial diretamente:
e^{-0{,}010438329}\approx 0{,}9896151
P \approx 1 - 0{,}9896151 = 0{,}0103849 \approx 0{,}01039.
Convertendo para porcentagem:
P \approx 1{,}04\%.
(Isto responde o item (b), aproximadamente 1\%.)

Passo 5

Calcular o número de nêutrons incidentes por segundo que atravessam a área do feixe (taxa de nêutrons incidentes). Fórmula:
\dot{N}_{\text{inc}} = \varphi \times A_{\text{feixe}}.
Substituindo \varphi=5\times10^{8}\\ \text{n}/\mathrm{cm}^{2}\cdot\mathrm{s} e A_{\text{feixe}}=0{,}1\\ \mathrm{cm}^{2}:
\dot{N}_{\text{inc}} = 5\times10^{8}\times 0{,}1 = 5\times10^{7}\\ \text{n}/\mathrm{s}.

Passo 6

Calcular a taxa de interações no alvo R. Cada nêutron incidente tem probabilidade P de interagir, então
R = \dot{N}_{\text{inc}}\times P.
Substituindo:
R = 5\times10^{7}\times 0{,}0103849 \approx 5{,}19245\times10^{5}\\ \text{interações}/\mathrm{s}.çõ
Arredondando:
R \approx 5{,}2\times10^{5}\\ \text{interações}/\mathrm{s}.çõ
(Isto responde o item (a).)

Passo 7

Calcular a densidade de colisão no alvo F (colisões por \mathrm{cm}^{3}\cdot\mathrm{s}). Em geral a densidade de taxa de reação (colisões por volume e por tempo) é
F = \varphi \,\Sigma,
onde \varphi é o fluxo local (n/cm ^2/s) e \Sigma é a seção de choque macroscópica (cm ^{-1}). Substituindo:
F = 5\times10^{8}\times 0{,}20876658 \approx 1{,}0438\times10^{8}\\ \frac{\text{colisões}}{\mathrm{cm}^{3}\cdot\mathrm{s}}.õ
Arredondando:
F \approx 1{,}045\times10^{8}\\ \frac{\text{colisões}}{\mathrm{cm}^{3}\cdot\mathrm{s}}.õ
(Isto responde o item (d).)

Resposta

(a) R = 5{,}2\times10^{5}\\ \text{interações}/\mathrm{s}çõ
(b) P = 1{,}04\%
(c) \Sigma = 0{,}209\\ \mathrm{cm}^{-1}
(d) F = 1{,}045\times10^{8}\\ \dfrac{\text{colisões}}{\mathrm{cm}^{3}\cdot\mathrm{s}}õ

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