a) Calcule o campo eléctrico no centro do anel.
b) Calcule o campo eléctrico num ponto do eixo do anel,
i) a partir da lei de Coulomb.
ii) partindo da expressão do potencial.
b) Calcule o campo eléctrico num ponto do eixo do anel,
i) a partir da lei de Coulomb.
ii) partindo da expressão do potencial.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado pede duas coisas sobre um anel carregado de raio
e carga total
:
a) O campo elétrico bem no centro do anel.
b) O campo elétrico num ponto sobre o eixo do anel, a uma distância do centro, calculando de duas maneiras:
i) Direto pela Lei de Coulomb (integral do ).
ii) A partir do potencial elétrico , usando
.
a) O campo elétrico bem no centro do anel.
b) O campo elétrico num ponto sobre o eixo do anel, a uma distância
i) Direto pela Lei de Coulomb (integral do
ii) A partir do potencial elétrico
Conteúdo: eletrostática (Lei de Coulomb, potencial elétrico, simetria). Vamos precisar de:
- Simetria do anel pra ver componentes de
. - Integração sobre o anel (
de 0 a ). - Relação entre potencial e campo (
).
Passo 2
a) Campo no centro do anel.
- Imagina cada pedacinho de carga
no anel gerando um apontando pra fora (ou pra dentro), radial. - Por simetria, todo par de cargas em lados opostos do anel vai gerar campos com mesmas magnitude mas direções opostas no centro.
- Então, esses
se cancelam em todas as direções.
Resultado:
Passo 3
b.i) Campo no eixo pelo Lei de Coulomb.
- Escolhe o ponto
no eixo, a distância do centro do anel. - Um elemento
no anel gera um campo
onde
é a distância de
a
.
3) Pra cada , a componente perpendicular ao eixo se cancela por simetria, só sobra a componente axial
.
4) Aqui . Então
3) Pra cada
4) Aqui
- Agora integramos
em todo anel: , e . Como , fica
- A direção é ao longo do eixo (
). Então
Passo 4
b.ii) Campo pelo potencial.
- Primeiro achamos o potencial
do anel no ponto . Por superposição, cada dá
- Isso é constante pra todo o anel, então
- Pra achar o campo:
- Eixos x,y não têm variação de
, então só sobra igual ao do item i).
Resposta
a)
.
b) Num ponto a do centro,
,
tanto pela Lei de Coulomb quanto por derivar o potencial.
b) Num ponto a
tanto pela Lei de Coulomb quanto por derivar o potencial.