a) Calcule o campo eléctrico no centro do anel.
b) Calcule o campo eléctrico num ponto do eixo do anel,
i) a partir da lei de Coulomb.
ii) partindo da expressão do potencial.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede duas coisas sobre um anel carregado de raio e carga total :
a) O campo elétrico bem no centro do anel.
b) O campo elétrico num ponto sobre o eixo do anel, a uma distância do centro, calculando de duas maneiras:
i) Direto pela Lei de Coulomb (integral do ).
ii) A partir do potencial elétrico , usando .
Conteúdo: eletrostática (Lei de Coulomb, potencial elétrico, simetria). Vamos precisar de:
  • Simetria do anel pra ver componentes de .
  • Integração sobre o anel ( de 0 a ).
  • Relação entre potencial e campo ( ).

Passo 2

a) Campo no centro do anel.
  1. Imagina cada pedacinho de carga Ecentro = 0 no anel gerando um apontando pra fora (ou pra dentro), radial.
  2. Por simetria, todo par de cargas em lados opostos do anel vai gerar campos com mesmas magnitude mas direções opostas no centro.
  3. Então, esses se cancelam em todas as direções.
    Resultado:

Passo 3

b.i) Campo no eixo pelo Lei de Coulomb.
  1. Escolhe o ponto dE=14pivarepsilon0,dqr^2,r, no eixo, a distância dEz =14pivarepsilon0,dqr^2,zr =14pivarepsilon0,z,dq(R^2+z^2)^3/2 do centro do anel.
  2. Um elemento Ez =14pivarepsilon0,z(R^2+z^2)^3/2 integral0^2pilambda R,dvarphi =14pivarepsilon0,z(R^2+z^2)^3/2;Q no anel gera um campo
E(z) =14pivarepsilon0,Q,z(R^2+z^2)^3/2,z
onde é a distância de a .
3) Pra cada , a componente perpendicular ao eixo se cancela por simetria, só sobra a componente axial .
4) Aqui . Então
  1. Agora integramos em todo anel: , e . Como , fica
  1. A direção é ao longo do eixo ( ). Então

Passo 4

b.ii) Campo pelo potencial.
  1. Primeiro achamos o potencial dV=14pivarepsilon0,dqr com r=raizR^2+z^2 do anel no ponto V(z) =14pivarepsilon0,1raizR^2+z^2 integral dq =14pivarepsilon0,QraizR^2+z^2 . Por superposição, cada Ez = -dVdz =-ddz![14pivarepsilon0,QraizR^2+z^2] =14pivarepsilon0,Q,z(R^2+z^2)^3/2
  1. Isso é constante pra todo o anel, então
  1. Pra achar o campo:
  1. Eixos x,y não têm variação de , então só sobra igual ao do item i).

Resposta

a) .
b) Num ponto a do centro,
,
tanto pela Lei de Coulomb quanto por derivar o potencial.

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