a) Calcule o potencial num ponto do eixo do anel.
b) Deduza a expressão do campo eléctrico num ponto do eixo do anel.
c) Obtenha as expressões do potencial e do campo eléctrico num ponto do eixo do anel quando a 0, ou seja, para o caso do disco uniformemente carregado.
d) Quando a distância de um ponto ao disco é muito menor que a distância à periferia do disco, podemos, para calcular o campo eléctrico, fazer a aproximação de que o disco se comporta como um plano infinito. Nessas condições, determine E.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o enunciado está pedindo e quais “ingredientes” a gente vai usar.
– Enunciado resumido:
a) Potencial elétrico num ponto sobre o eixo de um anel carregado.
b) Campo elétrico nesse mesmo ponto, a partir do potencial.
c) Usar a fórmula do anel pra achar o potencial e o campo num ponto sobre o eixo de um disco carregado (montando o disco como um monte de anéis).
d) Quando o ponto está muito perto do disco (distância z ≪ raio R), tratar o disco como plano infinito e achar 𝐸.
– Conteúdo: potencial e campo de distribuições de carga usando
• Lei de Coulomb (para potencial: 𝑉=∫d𝑉),
• Simetria para identificar distâncias,
• Diferenciação para achar o campo: 𝐸=−d𝑉/d𝑧,
• Integração (no item c).
A gente vai precisar de: carga total do anel (𝑄), densidade superficial do disco (σ), raio do anel/disco (𝑎 para o anel, 𝑅 para o disco) e constante ε₀.

Passo 2

Calcular o potencial no eixo de um anel de raio 𝑎 e carga total 𝑄.
  1. Escolhemos um ponto P no eixo, a uma distância 𝑧 do centro.
  2. Cada pedacinho de carga dq do anel está sempre à mesma distância
    r=√(𝑎²+𝑧²) de P.
  3. O potencial de dq é d𝑉=(1/(4πε₀))·dq/r.
  4. Como r é constante no anel, dá pra tirar fora da integral:
    𝑉(𝑧)= (1/(4πε₀)) · (1/r) ∫dq = (1/(4πε₀))·(𝑄/√(𝑧²+𝑎²)).
Logo:
boxed Vrm anel(z) =14pivarepsilon0,Qraizz^2+a^2

Passo 3

Achar o campo elétrico no eixo: 𝐸_z = −d𝑉/d𝑧.
  1. Partindo de
V(z)=14pivarepsilon0,Q(z^2+a^2)^1/2,
fazemos a derivada em 𝑧:
$$
\frac{dV}{dz}
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}Q\cdot
\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(z2+a2)^{-3/2}\cdot2z
=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q,z}{(z2+a2)^{3/2}}.
dVdz =14pivarepsilon0Qcdot l(-tfrac12r)(z^2+a^2)^-3/2cdot2z =-14pivarepsilon0Q,z(z^2+a^2)^3/2 ã
E_z=-\frac{dV}{dz}
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q,z}{(z2+a2)^{3/2}},
$$
apontando sempre para longe do anel se Q>0.

Passo 4

Disco uniformemente carregado de raio 𝑅 e densidade σ: montamos como um monte de anéis de raio 𝑎 variável (0≤𝑎≤𝑅).
  1. Carga de um anel fino de largura d𝑎: dq=σ·(área do anel)=σ·(2πa d𝑎).
  2. Cada desses anéis dá um potencial dV igual ao do anel, mas com dq variável:
dV =14pivarepsilon0dqraizz^2+a^2 =14pivarepsilon0σ,2pi a,daraizz^2+a^2
  1. Integramos a de 0 até R:
Vrm disco(z) =integral0^R σ2varepsilon0,a,daraizz^2+a^2 =σ2varepsilon0l[raizz^2+a^2r]0^R =σ2varepsilon0l(raizz^2+R^2-zr)
  1. O campo é 𝐸_z=−dV/dz:
Ez(z) =-ddzl[σ2varepsilon0(raizz^2+R^2-z)r] =σ2varepsilon0l(1-zraizz^2+R^2r)

Passo 5

Limite disco ≈ plano infinito: z≪R → √(z²+R²)≈R (muito maior que z), então
Ezapproxσ2varepsilon0l(1-zRr)approxσ2varepsilon0
Ou seja, bem pertinho, o campo fica praticamente constante e igual ao do plano infinito.

Resposta

a) Potencial no eixo do anel:
V(z)=dfrac14pivarepsilon0dfracQraizz^2+a^2.
b) Campo no eixo do anel:
Ez(z)=dfrac14pivarepsilon0dfracQ,z(z^2+a^2)^3/2.
c) Disco de raio R, σ const.:
V(z)=dfracσ2varepsilon0l(raizz^2+R^2-zr),
Ez(z)=dfracσ2varepsilon0l(1-dfraczraizz^2+R^2r).
d) Para z≪R (plano infinito):
Ezapprox σ2varepsilon0,.

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