a) Calcule o potencial num ponto do eixo do anel.
b) Deduza a expressão do campo eléctrico num ponto do eixo do anel.
c) Obtenha as expressões do potencial e do campo eléctrico num ponto do eixo do anel quando
, ou seja, para o caso do disco uniformemente carregado.
d) Quando a distância de um ponto ao disco é muito menor que a distância à periferia do disco, podemos, para calcular o campo eléctrico, fazer a aproximação de que o disco se comporta como um plano infinito. Nessas condições, determine
.
b) Deduza a expressão do campo eléctrico num ponto do eixo do anel.
c) Obtenha as expressões do potencial e do campo eléctrico num ponto do eixo do anel quando
d) Quando a distância de um ponto ao disco é muito menor que a distância à periferia do disco, podemos, para calcular o campo eléctrico, fazer a aproximação de que o disco se comporta como um plano infinito. Nessas condições, determine
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o enunciado está pedindo e quais “ingredientes” a gente vai usar.
– Enunciado resumido:
a) Potencial elétrico num ponto sobre o eixo de um anel carregado.
b) Campo elétrico nesse mesmo ponto, a partir do potencial.
c) Usar a fórmula do anel pra achar o potencial e o campo num ponto sobre o eixo de um disco carregado (montando o disco como um monte de anéis).
d) Quando o ponto está muito perto do disco (distância z ≪ raio R), tratar o disco como plano infinito e achar 𝐸.
– Enunciado resumido:
a) Potencial elétrico num ponto sobre o eixo de um anel carregado.
b) Campo elétrico nesse mesmo ponto, a partir do potencial.
c) Usar a fórmula do anel pra achar o potencial e o campo num ponto sobre o eixo de um disco carregado (montando o disco como um monte de anéis).
d) Quando o ponto está muito perto do disco (distância z ≪ raio R), tratar o disco como plano infinito e achar 𝐸.
– Conteúdo: potencial e campo de distribuições de carga usando
• Lei de Coulomb (para potencial: 𝑉=∫d𝑉),
• Simetria para identificar distâncias,
• Diferenciação para achar o campo: 𝐸=−d𝑉/d𝑧,
• Integração (no item c).
• Lei de Coulomb (para potencial: 𝑉=∫d𝑉),
• Simetria para identificar distâncias,
• Diferenciação para achar o campo: 𝐸=−d𝑉/d𝑧,
• Integração (no item c).
A gente vai precisar de: carga total do anel (𝑄), densidade superficial do disco (σ), raio do anel/disco (𝑎 para o anel, 𝑅 para o disco) e constante ε₀.
Passo 2
Calcular o potencial no eixo de um anel de raio 𝑎 e carga total 𝑄.
- Escolhemos um ponto P no eixo, a uma distância 𝑧 do centro.
- Cada pedacinho de carga dq do anel está sempre à mesma distância
r=√(𝑎²+𝑧²) de P. - O potencial de dq é d𝑉=(1/(4πε₀))·dq/r.
- Como r é constante no anel, dá pra tirar fora da integral:
𝑉(𝑧)= (1/(4πε₀)) · (1/r) ∫dq = (1/(4πε₀))·(𝑄/√(𝑧²+𝑎²)).
Logo:
Passo 3
Achar o campo elétrico no eixo: 𝐸_z = −d𝑉/d𝑧.
- Partindo de
fazemos a derivada em 𝑧:
$$
\frac{dV}{dz}
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}Q\cdot
\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(z2+a2)^{-3/2}\cdot2z
=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q,z}{(z2+a2)^{3/2}}.
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}Q\cdot
\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(z2+a2)^{-3/2}\cdot2z
=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q,z}{(z2+a2)^{3/2}}.
E_z=-\frac{dV}{dz}
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q,z}{(z2+a2)^{3/2}},
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q,z}{(z2+a2)^{3/2}},
$$
apontando sempre para longe do anel se Q>0.
apontando sempre para longe do anel se Q>0.
Passo 4
Disco uniformemente carregado de raio 𝑅 e densidade σ: montamos como um monte de anéis de raio 𝑎 variável (0≤𝑎≤𝑅).
- Carga de um anel fino de largura d𝑎: dq=σ·(área do anel)=σ·(2πa d𝑎).
- Cada desses anéis dá um potencial dV igual ao do anel, mas com dq variável:
- Integramos a de 0 até R:
- O campo é 𝐸_z=−dV/dz:
Passo 5
Limite disco ≈ plano infinito: z≪R → √(z²+R²)≈R (muito maior que z), então
Ou seja, bem pertinho, o campo fica praticamente constante e igual ao do plano infinito.
Resposta
a) Potencial no eixo do anel:
.
b) Campo no eixo do anel:
.
c) Disco de raio R, σ const.:
,
.
d) Para z≪R (plano infinito):
.
b) Campo no eixo do anel:
c) Disco de raio R, σ const.:
d) Para z≪R (plano infinito):