Calcule o campo elétrico devido a um anel fino de carga de raio a, para pontos no eixo de simetria do anel (direção z ). A distribuição linear de carga é dada por:
lambda(r^prime)=l lambda0, 0 <= varphi^prime
com lambda0>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede o campo elétrico ao longo do eixo z de um anel fino de raio a cuja densidade linear é
lambda(varphi') = +lambda0, & 0 <= varphi' < pi, -lambda0, & pi <= varphi' < 2pi, com lambda0>0
Conteúdo: eletrostática de cargas contínuas. Vamos usar a lei de Coulomb em forma integral, escolher coordenadas cilíndricas, decompor E em componentes e tirar proveito da simetria para ver o que sobra.

Passo 2

Lembra que o campo de um elemento de carga dQ em r' observado em r é
d E( r) = 14pivarepsilon0,dQ| r- r'|^3,( r- r')
Aqui o ponto de observação tá em (0,0,z) e cada dQ=lambda(varphi'),a,dvarphi' fica em (acosvarphi',,asinvarphi',,0). A distância é
R = | r- r'| = raiza^2+z^2,
que não depende de varphi'.

Passo 3

Agora decompomos d E em componentes radiais (x,y) e na direção z. Por simetria, em cada metade do anel (mesmo carregada positivamente ou negativamente) os elementos diametralmente opostos fazem cancelar todas as componentes transversais. Só sobra a componente ao longo de z, dada por
dEz = 14pivarepsilon0, lambda(varphi'),a,dvarphi'(a^2+z^2); zraiza^2+z^2 = 14pivarepsilon0, lambda(varphi'),a,z(a^2+z^2)^3/2,dvarphi'

Passo 4

Como lambda(varphi') vale +lambda0 para varphi'in[0,pi) e -lambda0 para varphi'in[pi,2pi), o campo total ao longo de z é
Ez =integral0^2pi dEz =14pivarepsilon0, a,z(a^2+z^2)^3/2 l[ underbraceintegral0^pilambda0,dvarphi'=lambda0pi +underbraceintegralpi^2pi(-lambda0),dvarphi'=-lambda0pi r]
Repara que essas duas integrais se cancelam: lambda0pi - lambda0pi = 0.

Resposta

Logo, para todo ponto no eixo z o campo resultante é
boxed E(0,0,z)=0

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