Calcule o campo elétrico devido a um disco de carga de raio
, nos pontos do eixo de simetria do disco. Considere o disco com densidade superficial de carga
uniforme. Qual o valor de
no centro do disco? Calcule também
, em que
é o eixo de simetria.
Calcule agora o campo elétrico de um disco, de raio
, que possui densidade de carga
, cujo centro e̊ o mesmo do disco de raio
. Use o princípio da superposição para combinar os dois resultados e obter o campo elétrico de uma moeda furada de carga. Qual o valor do campo no centro?
Calcule agora o campo elétrico de um disco, de raio
Passo 1
Beleza, o exercício tá pedindo pra gente achar o campo elétrico ao longo do eixo de um disco de raio
com densidade superficial uniforme
. Depois, ver qual é esse campo bem no centro (
) e ainda calcular a integral de linha
onde
é o próprio eixo. Por fim, temos um disco “com tesourinha”: um disco maior de raio
carregado com
e um disco menor (raio
) com densidade
, concentricamente, e queremos o campo resultante (superposição) e o valor no centro.
Matéria: eletrostática, campo de distribuições de carga contínua e princípio da superposição. Vamos precisar da expressão do campo de um anel e integrar sobre raios.
Matéria: eletrostática, campo de distribuições de carga contínua e princípio da superposição. Vamos precisar da expressão do campo de um anel e integrar sobre raios.
Passo 2
Vamos começar quebrando o disco de raio
em anéis de raio
e espessura
.
- Cada anel tem carga elemental
- O campo no ponto
do eixo, a uma distância do centro, só tem componente ao longo do eixo:
Então
Fazendo
,
, a integral vira
Então finalmente
direção do eixo, para
.
Passo 3
Campo no centro (
): basta fazer
na fórmula
Passo 4
Agora
. No eixo positivo,
. Vamos de
até
:
A primitiva de
é
. Avaliando de 0 a
dá
Logo
Passo 5
Disco “furado” = superposição do disco de raio
(
) com um disco de raio
(
).
- Campo do disco grande:
. - Campo do disco menor (densidade
, raio ):
Somando (superposição):
Passo 6
Valor no centro (
): na expressão de
cada termo é proporcional a
, então em
dá zero. Também dá pra ver direto:
e
, somando anula.
Resposta
- Campo no eixo do disco de raio
:
- No centro do disco:
- Integral de linha no eixo (
):
- Campo do disco furado (raios
):
- No centro do disco furado: