Calcule o campo elétrico devido a um disco de carga de raio a, nos pontos do eixo de simetria do disco. Considere o disco com densidade superficial de carga sigma0 uniforme. Qual o valor de E no centro do disco? Calcule também integralC E cdot dl, em que C é o eixo de simetria.
Calcule agora o campo elétrico de um disco, de raio b, que possui densidade de carga -sigma0, cujo centro e̊ o mesmo do disco de raio a. Use o princípio da superposição para combinar os dois resultados e obter o campo elétrico de uma moeda furada de carga. Qual o valor do campo no centro?

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo pra gente achar o campo elétrico ao longo do eixo de um disco de raio com densidade superficial uniforme . Depois, ver qual é esse campo bem no centro ( ) e ainda calcular a integral de linha onde é o próprio eixo. Por fim, temos um disco “com tesourinha”: um disco maior de raio carregado com e um disco menor (raio ) com densidade , concentricamente, e queremos o campo resultante (superposição) e o valor no centro.
Matéria: eletrostática, campo de distribuições de carga contínua e princípio da superposição. Vamos precisar da expressão do campo de um anel e integrar sobre raios.

Passo 2

Vamos começar quebrando o disco de raio dq = sigma0,(2pi r,dr) em anéis de raio dEz = 14pivarepsilon0,dq;z(r^2+z^2)^3/2 = 14pivarepsilon0,2pisigma0,r,dr;z(r^2+z^2)^3/2 e espessura E(z) = integralr=0^a dEz = sigma0,z2varepsilon0integral0^ar,dr(r^2+z^2)^3/2 .
  • Cada anel tem carga elemental
integral0^ar,dr(r^2+z^2)^3/2 =12integralz^2^a^2+z^2u^-3/2du =l[-u^-1/2r]z^2^a^2+z^2 =1z-1raizz^2+a^2
  • O campo no ponto boxedE(z)=sigma02varepsilon0l(1-zraizz^2+a^2r) do eixo, a uma distância do centro, só tem componente ao longo do eixo:
Então
Fazendo , , a integral vira
Então finalmente
direção do eixo, para .

Passo 3

Campo no centro ( E(0)=sigma02varepsilon0l(1-0raiz0+a^2r) =sigma02varepsilon0 ): basta fazer na fórmula

Passo 4

Agora integral0^inftyE(z),dz =sigma02varepsilon0integral0^inftyl(1-zraizz^2+a^2r)dz . No eixo positivo, l[z-raizz^2+a^2r]0^infty =l(0r)-l(0 - ar) = a . Vamos de boxedintegralC Ecdot d l = sigma0,a2varepsilon0 até :
A primitiva de é . Avaliando de 0 a
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Passo 5

Disco “furado” = superposição do disco de raio Eb(z)=-,sigma02varepsilon0l(1-zraizz^2+b^2r) ( boxedErm furado(z) =Ea(z)+Eb(z) =sigma02varepsilon0l(zraizz^2+b^2-zraizz^2+a^2r) ) com um disco de raio ( ).
  • Campo do disco grande: .
  • Campo do disco menor (densidade , raio ):
Somando (superposição):

Passo 6

Valor no centro ( ): na expressão de cada termo é proporcional a , então em dá zero. Também dá pra ver direto: e , somando anula.

Resposta

  1. Campo no eixo do disco de raio E(z)=sigma02varepsilon0l(1-zraizz^2+a^2r) :
E(0)=sigma02varepsilon0
  1. No centro do disco:
integralC Ecdot d l=sigma0,a2varepsilon0
  1. Integral de linha no eixo ( Erm furado(z) =sigma02varepsilon0l(zraizz^2+b^2-zraizz^2+a^2r) ):
Erm furado(0)=0
  1. Campo do disco furado (raios ):
  1. No centro do disco furado:

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