Problema 3: Teorema de Gauss [5.0] O espaço compreendido entre duas esferas concêntricas de raio a e 2 a está carregado com uma carga Q, distribuída uniformemente, no vácuo.
Calcule a energia eletrostática do sistema de cargas.

Passo 1

Show de bola – a gente tem duas esferas concêntricas de raio e , e o espaço entre elas está carregado com carga total , distribuída uniformemente. O tema aqui é eletrostática: mais especificamente vamos usar
  1. Lei de Gauss para achar o campo elétrico em cada região radial;
  2. a densidade de energia do campo, , para integrar por todo espaço e achar a energia estática .

Passo 2

Primeiro, calculamos a densidade volumétrica de carga V=4pi3l((2a)^3 - a^3r) =4pi3(8a^3 - a^3) =28pi3,a^3 . O volume do casquete esférico entre rho=QV =3Q28pi,a^3 e é
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Passo 3

Agora aplicamos a Lei de Gauss para achar oint Ecdot d A =E(r),4pi r^2 =Qrm intvarepsilon0, . Num cilindro esférico de raio :
onde é a carga contida em . Há três regimes:
  1. : a carga internamente à esfera de raio é zero, logo .
  2. : .
  3. : .

Passo 4

Região intermediária Qrm int(r) =rho,4pi3(r^3-a^3) Rightarrow E(r) =14pivarepsilon0,Qrm int(r)r^2 =rho3varepsilon0l(r-a^3r^2r) .

Passo 5

Região externa E(r) =14pivarepsilon0,Qr^2 .

Passo 6

Energia total no campo é
U =varepsilon02integral R^3E^2,dtau =varepsilon02l[, integrala^2a4pi r^2E^2(r),dr ;+;integral2a^infty4pi r^2E^2(r),dr r]
Fazendo as duas integrais (bastante diretas, só trocar U =1411960,pi,varepsilon0;Q^2a e integrar termo a termo) e somando os resultados, chega-se a

Resposta

boxed,U ;=;1411960,pi,varepsilon0,Q^2a,

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