Problema 3: Teorema de Gauss [5.0] O espaço compreendido entre duas esferas concêntricas de raio
e
está carregado com uma carga
, distribuída uniformemente, no vácuo.
Calcule a energia eletrostática do sistema de cargas.
Calcule a energia eletrostática do sistema de cargas.
Passo 1
Show de bola – a gente tem duas esferas concêntricas de raio
e
, e o espaço entre elas está carregado com carga total
, distribuída uniformemente. O tema aqui é eletrostática: mais especificamente vamos usar
- Lei de Gauss para achar o campo elétrico
em cada região radial; - a densidade de energia do campo,
, para integrar por todo espaço e achar a energia estática .
Passo 2
Primeiro, calculamos a densidade volumétrica de carga
. O volume do casquete esférico entre
e
é
Logo
Passo 3
Agora aplicamos a Lei de Gauss para achar
. Num cilindro esférico de raio
:
onde
é a carga contida em
. Há três regimes:
-
: a carga internamente à esfera de raio é zero, logo . -
: . -
: .
Passo 4
Região intermediária
.
Passo 5
Região externa
.
Passo 6
Energia total no campo é
Fazendo as duas integrais (bastante diretas, só trocar
e integrar termo a termo) e somando os resultados, chega-se a