Calcule o campo elétrico devido a uma linha de cargas +q (um fio condutor carregado positivamente, por exemplo) de comprimento L no ponto P a uma distância y do fio ao longo de sua mediatriz.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra encontrar o campo elétrico criado por um fio retilíneo de carga total +q e comprimento L, no ponto P que fica a uma distância y do centro do fio, na mediatriz.
Conteúdo envolvido:
  • Lei de Coulomb (campo de um elemento de carga)
  • Princípio da superposição (somar contribuições de cada pedacinho de carga)
  • Integração (pra somar infinitos pedaços)
    O que vamos usar: a densidade linear de carga
lambda = qL
e a constante elétrica
k = 14pivarepsilon0,

Passo 2

Vamos colocar o fio ao longo do eixo x, de x=−L/2 até x=+L/2, e o ponto P em (0,y). Escolhemos isso porque a simetria depois vai simplificar: as partes positivas e negativas do eixo x vão se cancelar em x, sobrando só componente em y.

Passo 3

Pegamos um pedacinho de fio de comprimento dx, que carrega carga
dq = lambda ,dx
e, pela lei de Coulomb, o campo que esse dq faz em P tem magnitude
dE = k,dqr^2 = k,lambda,dx(x^2 + y^2),,
onde
r = raizx^2 + y^2
é a distância de dq até P.

Passo 4

Esse vetor dE aponta de dq para P. Por simetria, as componentes horizontais (eixo x) de dE vindas de +x e −x se anulam. Só sobra a componente vertical (eixo y), que vale
dEy = dE ,costheta com costheta = yr
Logo
dEy = k,lambda,dx(x^2 + y^2);yraizx^2 + y^2 = k,lambda,y;dx(x^2 + y^2)^3/2

Passo 5

Agora integra tudo de x=−L/2 até x=+L/2:
E = integral-L/2^+L/2 dEy = k,lambda,y integral-L/2^+L/2 dx(x^2 + y^2)^3/2
Essa integral padrão dá
integral-L/2^+L/2!dx(x^2+y^2)^3/2 = 2y^2,L/2raiz(L/2)^2 + y^2 = Ly^2,raiz(L/2)^2 + y^2
Então
E = k,lambda,y ;Ly^2,raiz(L/2)^2 + y^2 = k,lambda,Ly,raiz(L/2)^2 + y^2
Como , fica

Resposta

boxed E = 14pivarepsilon0;qy,raizy^2 + (L/2)^2
Direção: perpendicular ao fio, saindo do fio (pra cima se y>0).

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