Uma esfera não condutora, de raio a, é colocada no centro de uma casca esférica condutora, de raio interno b e raio externo c, com a menor que b. Uma carga +Q está distribuída uniformemente através da esfera interior (densidade volumétrica rho ). A casca externa tem carga -Q. Calcule E(r) para os seguintes casos: (a) dentro da esfera ( r ). (b) entre a esfera e a casca ( a ). © dentro da casca ( b< r ) e (d) fora da casca (r>c). Finalmente, quais são as cargas que surgem nas superfícies interna e externa da casca?

Passo 1

Beleza, aqui vai o resumo: temos uma esfera de raio oint Ecdot dA ;=;Qrm internovarepsilon0, não condutora com carga total (densidade volumétrica ) encaixada no centro de uma casca esférica condutora, que tem raio interno e externo , com . A casca tem carga total . O que a gente precisa é calcular o campo elétrico em quatro regiões diferentes de (distância ao centro):
(a) dentro da esfera ( ),
(b) entre esfera e casca ( ),
© dentro do corpo da casca metálica ( ),
(d) fora da casca ( ).
Depois, identificar quais cargas aparecem nas superfícies interna e externa da casca.
O conteúdo principal é Lei de Gauss para simetria esférica:
e usar que numa esfera de raio , .

Passo 2

Região Qrm int(r) ;=;rho;times;Volume do raio r ;=;rho;4pi r^33 (dentro da esfera não condutora)
  1. A carga dentro de um raio Qrm int(r) =Qtfrac4pi a^33;4pi r^33 =;Q,r^3a^3 é
E(r),4pi r^2 = Qrm int(r)varepsilon0 Longrightarrow E(r) = Q,r^3/a^34pivarepsilon0,r^2 =Q4pivarepsilon0,ra^3
  1. Mas . Então
  1. Pela Lei de Gauss,

Passo 3

Região E(r),4pi r^2 = Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = Q4pivarepsilon0,r^2 (entre a esfera carregada e a casca)
  1. Agora todo o da esfera está dentro da superfície gaussiana de raio .
  2. Então . Pela Lei de Gauss,

Passo 4

Região E(r)=0 para b (dentro do metal da casca)
  1. Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo interno é zero.
  2. Logo

Passo 5

Região E(r),4pi r^2 = 0varepsilon0 Longrightarrow E(r)=0 para r>c (fora de tudo)
  1. A carga total envolvida é (esfera) mais (casca) = 0.
  2. Então pela Lei de Gauss

Passo 6

Cargas induzidas na casca
  • Como dentro do metal Qrm ext = -Q - l(-Qr) = 0 e há +Q no centro, surge uma carga na superfície interna ( ) para anular o campo.
  • A casca tem carga total , então a superfície externa ( ) fica com

Resposta

E® vale
E(r)= dfracQ4pivarepsilon0;dfracra^3, & rc
E as cargas na casca:
  • Superfície interna ( ): .
  • Superfície externa ( ): .

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