Uma esfera não condutora, de raio
, é colocada no centro de uma casca esférica condutora, de raio interno
e raio externo
, com a menor que
. Uma carga
está distribuída uniformemente através da esfera interior (densidade volumétrica
). A casca externa tem carga
. Calcule
para os seguintes casos: (a) dentro da esfera (
). (b) entre a esfera e a casca (
). © dentro da casca (
) e (d) fora da casca
. Finalmente, quais são as cargas que surgem nas superfícies interna e externa da casca?
Passo 1
Beleza, aqui vai o resumo: temos uma esfera de raio
não condutora com carga total
(densidade volumétrica
) encaixada no centro de uma casca esférica condutora, que tem raio interno
e externo
, com
. A casca tem carga total
. O que a gente precisa é calcular o campo elétrico
em quatro regiões diferentes de
(distância ao centro):
(a) dentro da esfera ( ),
(b) entre esfera e casca ( ),
© dentro do corpo da casca metálica ( ),
(d) fora da casca ( ).
Depois, identificar quais cargas aparecem nas superfícies interna e externa da casca.
O conteúdo principal é Lei de Gauss para simetria esférica:
(a) dentro da esfera (
(b) entre esfera e casca (
© dentro do corpo da casca metálica (
(d) fora da casca (
Depois, identificar quais cargas aparecem nas superfícies interna e externa da casca.
O conteúdo principal é Lei de Gauss para simetria esférica:
e usar que numa esfera de raio
,
.
Passo 2
Região
(dentro da esfera não condutora)
- A carga dentro de um raio
é
- Mas
. Então
- Pela Lei de Gauss,
Passo 3
Região
(entre a esfera carregada e a casca)
- Agora todo o
da esfera está dentro da superfície gaussiana de raio . - Então
. Pela Lei de Gauss,
Passo 4
Região
(dentro do metal da casca)
- Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo interno é zero.
- Logo
Passo 5
Região
(fora de tudo)
- A carga total envolvida é
(esfera) mais (casca) = 0. - Então pela Lei de Gauss
Passo 6
Cargas induzidas na casca
- Como dentro do metal
e há +Q no centro, surge uma carga na superfície interna ( ) para anular o campo. - A casca tem carga total
, então a superfície externa ( ) fica com
Resposta
E® vale
E as cargas na casca:
- Superfície interna (
): . - Superfície externa (
): .