Determine o sentido, direção e magnitude da força elétrica que um fio finito condutor de comprimento
exerce sobre a carga de prova qo que dista
do centro do fio supondo que o fio tenha uma densidade linear de cargas positivas
na metade superior e densidade linear de cargas negativas
na metade inferior.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um fio condutor finito com comprimento
. A metade de cima do fio tem uma densidade linear de carga positiva
e a metade de baixo tem uma densidade linear de carga negativa
. Queremos saber qual é a força elétrica que esse fio exerce sobre uma carga de prova
que está a uma distância
do centro do fio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e a Lei de Coulomb.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica que uma carga sente devido a um campo elétrico é dada por:
Então, nosso objetivo é encontrar o campo elétrico
no ponto onde está a carga
causado pelo fio carregado.
Passo 3
Vamos dividir o fio em pequenos pedaços de comprimento diferencial
. Cada pedaço tem uma carga
(positiva ou negativa, dependendo da metade). Para cada pedaço, podemos calcular o campo elétrico diferencial
no ponto onde está
usando a Lei de Coulomb:
onde
é a distância entre o pedaço de carga e o ponto onde está
, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 4
Como o fio é finito e estamos calculando o campo em uma posição perpendicular ao centro, podemos usar simetria para simplificar. As componentes do campo na direção paralela ao fio vão se anular devido à simetria, restando apenas a componente perpendicular.
Vamos escolher um sistema de coordenadas onde o centro do fio está na origem e o ponto onde está
está no eixo
a uma distância
da origem.
Passo 5
Expressando a distância
de cada ponto do fio ao ponto
, temos:
A componente perpendicular do campo elétrico devido a
é:
onde
é a distância fixa do ponto à origem.
Passo 6
Agora, integramos essa expressão ao longo de todo o fio, que vai de
a
. Lembrando que a densidade de carga é
para
e
para
, podemos escrever:
Passo 7
A integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou tabelas de integrais, resultando em:
Passo 8
Finalmente, a força elétrica sobre a carga
é:
A direção da força será na direção do campo elétrico, que, dado que a metade superior é positiva e a inferior negativa, resultará em um campo na mesma direção do eixo
.
Resposta
A força elétrica exercida pelo fio sobre a carga
tem magnitude:
E está direcionada ao longo do eixo
, afastando ou atraindo
dependendo do sinal de
.