Determine o sentido, direção e magnitude da força elétrica que um fio finito condutor de comprimento L exerce sobre a carga de prova qo que dista x do centro do fio supondo que o fio tenha uma densidade linear de cargas positivas +lambda na metade superior e densidade linear de cargas negativas -lambda na metade inferior.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um fio condutor finito com comprimento L. A metade de cima do fio tem uma densidade linear de carga positiva +lambda e a metade de baixo tem uma densidade linear de carga negativa -lambda. Queremos saber qual é a força elétrica que esse fio exerce sobre uma carga de prova q0 que está a uma distância x do centro do fio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e a Lei de Coulomb.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica que uma carga sente devido a um campo elétrico é dada por:
F = q0 cdot E
Então, nosso objetivo é encontrar o campo elétrico E no ponto onde está a carga q0 causado pelo fio carregado.

Passo 3

Vamos dividir o fio em pequenos pedaços de comprimento diferencial dy. Cada pedaço tem uma carga dq = lambda , dy (positiva ou negativa, dependendo da metade). Para cada pedaço, podemos calcular o campo elétrico diferencial dE no ponto onde está q0 usando a Lei de Coulomb:
dE = 14pivarepsilon0 cdot dqr^2 cdot r
onde r é a distância entre o pedaço de carga e o ponto onde está q0, e r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 4

Como o fio é finito e estamos calculando o campo em uma posição perpendicular ao centro, podemos usar simetria para simplificar. As componentes do campo na direção paralela ao fio vão se anular devido à simetria, restando apenas a componente perpendicular.
Vamos escolher um sistema de coordenadas onde o centro do fio está na origem e o ponto onde está q0 está no eixo x a uma distância x da origem.

Passo 5

Expressando a distância r de cada ponto do fio ao ponto q0, temos:
r = raizx^2 + y^2
A componente perpendicular do campo elétrico devido a dq é:
dE = 14pivarepsilon0 cdot dq cdot x(x^2 + y^2)^3/2
onde x é a distância fixa do ponto à origem.

Passo 6

Agora, integramos essa expressão ao longo de todo o fio, que vai de -L/2 a L/2. Lembrando que a densidade de carga é +lambda para y > 0 e -lambda para y < 0, podemos escrever:
E = lambda x4pivarepsilon0 integral-L/2^L/2 1(x^2 + y^2)^3/2 , dy

Passo 7

A integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou tabelas de integrais, resultando em:
E = lambda x4pivarepsilon0 [ yx^2 raizx^2 + y^2 ]-L/2^L/2 = lambda4pivarepsilon0 ( Lx raizx^2 + (L/2)^2 )

Passo 8

Finalmente, a força elétrica sobre a carga q0 é:
F = q0 cdot E = q0 lambda4pivarepsilon0 ( Lx raizx^2 + (L/2)^2 )
A direção da força será na direção do campo elétrico, que, dado que a metade superior é positiva e a inferior negativa, resultará em um campo na mesma direção do eixo x.

Resposta

A força elétrica exercida pelo fio sobre a carga q0 tem magnitude:
F = q0 lambda4pivarepsilon0 ( Lx raizx^2 + (L/2)^2 )
E está direcionada ao longo do eixo x, afastando ou atraindo q0 dependendo do sinal de q0.

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