Calcule o campo elétrico de um disco uniformemente carregado positivamente de raio
em um ponto
distante
(no eixo
) do centro do disco.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede-se o campo elétrico no ponto
situado sobre o eixo do disco, a uma distância do centro do disco. - O disco é circular, de raio
, e está uniformemente carregado positivamente. - Vou denotar a densidade superficial de carga do disco por
(carga por unidade de área). Se o enunciado der a carga total , pode-se usar . - Constantes físicas que aparecem: a permissividade do vácuo
. - Pergunta explícita: calcular o vetor campo elétrico
em (no eixo ), em função de , , e .
Passo 2
Escolha do método (sem resolver ainda) e por que ele funciona:
- Pelo simetria circular do disco, componentes do campo elétrico nos planos radiais (perpendiculares ao eixo) se cancelam. Resta apenas a componente ao longo do eixo
. - Um método prático é decompor o disco em anéis concêntricos de raio
e espessura . Cada anel tem carga conhecida e o campo axial produzido por um anel no ponto é fácil de calcular. - Então: somar (integrar) a contribuição axial de todos os anéis de
até .
Passo 3
Elemento de carga e contribuição do anel:
- Considere um anel de raio
e largura . A área do anel é . - A carga do anel é
- A distância do elemento de carga do anel até o ponto
é . - Pelo princípio de Coulomb, a contribuição em módulo do campo elétrico de um elemento de carga
a essa distância é
- Porém esse
é a intensidade do campo total gerado pelo anel (como se fosse concentrado a essa distância). A componente ao longo do eixo é obtida multiplicando por , onde . - Portanto a contribuição axial do anel é
Passo 4
Substituir
e montar a integral:
- Substituindo
na expressão de :
- Agrupando constantes:
- O campo total no ponto
é a integral de para de até :
Passo 5
Calcular a integral passo a passo:
- Faça a substituição
. Então , isto é, . - Quando
temos . Quando temos . - A integral torna-se
- Calcule a primitiva:
. Portanto
- Avaliando os limites:
- Logo a integral vale
.
Passo 6
Obter a expressão final do campo e discutir direção:
- Substituindo o resultado no prefator de
:
- Simplificando
com :
- O vetor campo elétrico aponta ao longo do eixo
. Como o disco está carregado positivamente, para o campo aponta no sentido positivo de . Em notação vetorial:
Passo 7
Verificações físicas e limites (para fixar a intuição):
- Limite
(no centro do disco, logo acima da superfície):
o que coincide com o valor do campo sobre a superfície de uma lâmina infinitamente extensa (metade do salto total), e é consistente fisicamente como valor do campo imediatamente acima do disco.
- Limite
(muito longe, o disco parece um ponto):
Expandindo empequeno, obtém-se
Usando
isso vira
o que é o campo de uma carga pontual
à distância
. Bom sinal de consistência.