Calcule o campo elétrico de um disco uniformemente carregado positivamente de raio R em um ponto P distante z (no eixo z ) do centro do disco.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede-se o campo elétrico no ponto P situado sobre o eixo do disco, a uma distância z do centro do disco.
  • O disco é circular, de raio R, e está uniformemente carregado positivamente.
  • Vou denotar a densidade superficial de carga do disco por \sigma (carga por unidade de área). Se o enunciado der a carga total Q, pode-se usar \sigma = Q/(\pi R^{2}).
  • Constantes físicas que aparecem: a permissividade do vácuo \varepsilon_0.
  • Pergunta explícita: calcular o vetor campo elétrico \mathbf{E} em P (no eixo z), em função de \sigma, R, z e \varepsilon_0.

Passo 2

Escolha do método (sem resolver ainda) e por que ele funciona:
  • Pelo simetria circular do disco, componentes do campo elétrico nos planos radiais (perpendiculares ao eixo) se cancelam. Resta apenas a componente ao longo do eixo z.
  • Um método prático é decompor o disco em anéis concêntricos de raio r e espessura dr. Cada anel tem carga conhecida e o campo axial produzido por um anel no ponto P é fácil de calcular.
  • Então: somar (integrar) a contribuição axial de todos os anéis de r=0 até r=R.

Passo 3

Elemento de carga e contribuição do anel:
  • Considere um anel de raio r e largura dr. A área do anel é dA = 2\pi r\,dr.
  • A carga do anel é
dq = \sigma\,dA = \sigma\cdot 2\pi r\,dr.
  • A distância do elemento de carga do anel até o ponto P é \sqrt{r^{2}+z^{2}}.
  • Pelo princípio de Coulomb, a contribuição em módulo do campo elétrico de um elemento de carga dq a essa distância é
dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^{2}+z^{2}}.
  • Porém esse dE é a intensidade do campo total gerado pelo anel (como se fosse concentrado a essa distância). A componente ao longo do eixo z é obtida multiplicando por \cos\theta, onde \cos\theta = \dfrac{z}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}.
  • Portanto a contribuição axial do anel é
dE_z = dE\cos\theta = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^{2}+z^{2}}\cdot\frac{z}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{z\,dq}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.

Passo 4

Substituir dq e montar a integral:
  • Substituindo dq=\sigma\cdot 2\pi r\,dr na expressão de dE_z:
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{z\cdot \sigma\cdot 2\pi r\,dr}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.
  • Agrupando constantes:
dE_z = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{r\,dr}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.
  • O campo total no ponto P é a integral de dE_z para r de 0 até R:
E_z = \int_{0}^{R} dE_z = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo:
  • Faça a substituição u = r^{2}+z^{2}. Então du = 2r\,dr, isto é, r\,dr = \dfrac{du}{2}.
  • Quando r=0 temos u=z^{2}. Quando r=R temos u=R^{2}+z^{2}.
  • A integral torna-se
\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3/2}} = \int_{u=z^{2}}^{u=R^{2}+z^{2}}\frac{1}{2}\frac{du}{u^{3/2}}.
  • Calcule a primitiva: \displaystyle \int u^{-3/2}du = -2u^{-1/2}. Portanto
\frac{1}{2}\int_{z^{2}}^{R^{2}+z^{2}} u^{-3/2}du = \frac{1}{2}\left[-2u^{-1/2}\right]_{z^{2}}^{R^{2}+z^{2}} = \left[-u^{-1/2}\right]_{z^{2}}^{R^{2}+z^{2}}.
  • Avaliando os limites:
\left[-u^{-1/2}\right]_{z^{2}}^{R^{2}+z^{2}} = -\frac{1}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}} -\left(-\frac{1}{\sqrt{z^{2}}}\right) = \frac{1}{z} - \frac{1}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}.
  • Logo a integral vale \dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}.

Passo 6

Obter a expressão final do campo e discutir direção:
  • Substituindo o resultado no prefator de E_z:
E_z = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{z} - \frac{1}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right).
  • Simplificando z com 1/z:
E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right).
  • O vetor campo elétrico aponta ao longo do eixo z. Como o disco está carregado positivamente, para z>0 o campo aponta no sentido positivo de z. Em notação vetorial:
\mathbf{E}(0,0,z) = E_z\,\hat{\mathbf{z}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right)\hat{\mathbf{z}}.

Passo 7

Verificações físicas e limites (para fixar a intuição):
  • Limite z\to 0 (no centro do disco, logo acima da superfície):
E_z(z\to 0) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - 0\right) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
o que coincide com o valor do campo sobre a superfície de uma lâmina infinitamente extensa (metade do salto total), e é consistente fisicamente como valor do campo imediatamente acima do disco.
  • Limite z\gg R (muito longe, o disco parece um ponto):
    Expandindo em R^{2}/z^{2} pequeno, obtém-se
E_z \approx \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{z\sqrt{1+R^{2}/z^{2}}}\right) \approx \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{1}{1+\tfrac{1}{2}R^{2}/z^{2}}\right) \approx \frac{\sigma R^{2}}{4\varepsilon_0 z^{2}}.
Usando Q=\sigma\pi R^{2} isso vira
E_z \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{z^{2}},
o que é o campo de uma carga pontual Q à distância z. Bom sinal de consistência.

Resposta

\mathbf{E}(0,0,z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right)\hat{\mathbf{z}}

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