O campo elétrico na superfície da Terra é
e está orientado para o centro do planeta. Lembrando que a Terra é um condutor, calcule a densidade superficial de carga e a carga total r superfície da Terra.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dado: o campo elétrico na superfície da Terra tem magnitude
e está orientado para o centro do planeta (ou seja, aponta para dentro). - Dado: a Terra é um condutor (portanto o campo elétrico no interior do condutor é nulo e as cargas livres se distribuem na superfície).
- Pedidos:
- Calcular a densidade superficial de carga
na superfície da Terra. - Calcular a carga total
sobre a superfície da Terra.
- Calcular a densidade superficial de carga
Passo 2
Princípio físico e ideia do método (explicação didática e passo a passo):
- Lei de Gauss (forma integral) diz que o fluxo total do campo elétrico por uma superfície fechada envolve a carga interna:
Aqui
é o campo elétrico,
é o vetor área (direção do normal para fora),
é a carga elétrica dentro da superfície fechada, e
é a permissividade do vácuo (
).
- Para relacionar
com na superfície de um condutor usa-se o argumento do “pílula” (Gaussian pillbox): escolher uma pequena caixa cilíndrica cuja face superior fique fora do condutor e a face inferior fique dentro do condutor, ambas com área . Pelo fato de o campo dentro do condutor ser zero, só há fluxo pela face externa. Se é o vetor normal para fora da superfície, o fluxo é (com avaliado do lado de fora). A carga encerrada pelo pílula é . Aplicando Gauss:
- Interpretação de sinais: a relação acima usa
(com apontando para fora da superfície). Se o campo apontar para dentro, então e consequentemente . Em forma explícita:
Passo 3
Aplicando a fórmula aos dados do enunciado:
- O campo dado tem magnitude
e aponta para o centro da Terra. Tomando como o normal para fora (radial para fora), temos
(negativo porque o campo real vai para dentro, oposto ao sentido do
).
- Usando
,
Fazendo a multiplicação passo a passo:
logo
Arredondando com dois dígitos significativos:
Passo 4
Cálculo da carga total
sobre a superfície:
- Para obter
multiplica-se pela área da superfície esférica da Terra:
- O enunciado não deu o raio da Terra, então usa-se o valor conhecido de referência
(valor praticamente usado em provas). Calculemos a área:
- Agora o produto:
Multiplicando:
(Arredondado:
.)
Passo 5
Interpretação física e comentários finais (motivação e resumo didático):
- O sinal negativo de
e de indica que a carga superficial livre na Terra é negativa (coerente com o fato de o campo apontar para dentro). - Conceitualmente: em um condutor em equilíbrio eletrostático, todas as cargas livres se reposicionam na superfície e o campo no interior é zero; o campo logo fora da superfície está diretamente relacionado à densidade superficial por
. Essa é uma forma prática que cai muito em prova: lembrar da derivação com a pílula e do cuidado com o sinal (orientação do normal). - Você está indo bem: a chave é lembrar da relação
e prestar atenção ao sentido do campo para o sinal. Respira fundo e revise este argumento do pílula mais umas duas vezes — é curto e sempre útil na prova!