O campo elétrico na superfície da Terra é 150 \mathrm{~N} / \mathrm{C} e está orientado para o centro do planeta. Lembrando que a Terra é um condutor, calcule a densidade superficial de carga e a carga total r superfície da Terra.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dado: o campo elétrico na superfície da Terra tem magnitude \,150\\ \mathrm{N/C}\, e está orientado para o centro do planeta (ou seja, aponta para dentro).
  • Dado: a Terra é um condutor (portanto o campo elétrico no interior do condutor é nulo e as cargas livres se distribuem na superfície).
  • Pedidos:
    1. Calcular a densidade superficial de carga \sigma na superfície da Terra.
    2. Calcular a carga total Q sobre a superfície da Terra.

Passo 2

Princípio físico e ideia do método (explicação didática e passo a passo):
  • Lei de Gauss (forma integral) diz que o fluxo total do campo elétrico por uma superfície fechada envolve a carga interna:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.
Aqui \mathbf{E} é o campo elétrico, d\mathbf{A} é o vetor área (direção do normal para fora), Q_{\text{int}} é a carga elétrica dentro da superfície fechada, e \epsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \epsilon_0\approx 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}).
  • Para relacionar \sigma com \mathbf{E} na superfície de um condutor usa-se o argumento do “pílula” (Gaussian pillbox): escolher uma pequena caixa cilíndrica cuja face superior fique fora do condutor e a face inferior fique dentro do condutor, ambas com área A. Pelo fato de o campo dentro do condutor ser zero, só há fluxo pela face externa. Se \hat{n} é o vetor normal para fora da superfície, o fluxo é E_{\text{out}} A (com E_{\text{out}}=\mathbf{E}\cdot\hat{n} avaliado do lado de fora). A carga encerrada pelo pílula é \sigma A. Aplicando Gauss:
E_{\text{out}} A = \frac{\sigma A}{\epsilon_0}\\ \Longrightarrow\\ E_{\text{out}}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}.
  • Interpretação de sinais: a relação acima usa E_{\text{out}}=\mathbf{E}\cdot\hat{n} (com \hat{n} apontando para fora da superfície). Se o campo apontar para dentro, então E_{\text{out}}<0 e consequentemente \sigma<0. Em forma explícita:
\sigma = \epsilon_0 E_{\text{out}}.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dados do enunciado:
  • O campo dado tem magnitude 150\\ \mathrm{N/C} e aponta para o centro da Terra. Tomando \hat{n} como o normal para fora (radial para fora), temos
E_{\text{out}} = -150\\ \mathrm{N/C}
(negativo porque o campo real vai para dentro, oposto ao sentido do \hat{n}).
  • Usando \epsilon_0 = 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)},
\sigma = \epsilon_0 E_{\text{out}} = 8{,}854187817\times10^{-12}\times(-150)\\ \mathrm{C/m^2}.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
8{,}854187817\times150 = 1{,}32812817255\times10^{3},
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\sigma = -1{,}32812817255\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^2}.
Arredondando com dois dígitos significativos:
\sigma \approx -1{,}33\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^2}.

Passo 4

Cálculo da carga total Q sobre a superfície:
  • Para obter Q multiplica-se \sigma pela área da superfície esférica da Terra:
Q = \sigma \cdot A = \sigma \cdot 4\pi R^2.
  • O enunciado não deu o raio da Terra, então usa-se o valor conhecido de referência R = 6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m} (valor praticamente usado em provas). Calculemos a área:
R^2 = (6{,}37\times10^{6})^2 = 4{,}05769\times10^{13}\\ \mathrm{m^2},
A = 4\pi R^2 \approx 4\pi\times 4{,}05769\times10^{13} \approx 5{,}10\times10^{14}\\ \mathrm{m^2}.
  • Agora o produto:
Q = (-1{,}32812817255\times10^{-9}) \times (5{,}10\times10^{14})\\ \mathrm{C}.
Multiplicando:
Q \approx -6{,}77\times10^{5}\\ \mathrm{C}.
(Arredondado: Q\approx -6{,}8\times10^{5}\\ \mathrm{C}.)

Passo 5

Interpretação física e comentários finais (motivação e resumo didático):
  • O sinal negativo de \sigma e de Q indica que a carga superficial livre na Terra é negativa (coerente com o fato de o campo apontar para dentro).
  • Conceitualmente: em um condutor em equilíbrio eletrostático, todas as cargas livres se reposicionam na superfície e o campo no interior é zero; o campo logo fora da superfície está diretamente relacionado à densidade superficial por \sigma=\epsilon_0 E_{\text{out}}. Essa é uma forma prática que cai muito em prova: lembrar da derivação com a pílula e do cuidado com o sinal (orientação do normal).
  • Você está indo bem: a chave é lembrar da relação \sigma=\epsilon_0 E_{\text{out}} e prestar atenção ao sentido do campo para o sinal. Respira fundo e revise este argumento do pílula mais umas duas vezes — é curto e sempre útil na prova!

Resposta

\sigma \approx -1{,}33\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^2}
Q \approx -6{,}77\times10^{5}\\ \mathrm{C}

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