Calcule o campo elétrico de um fio de comprimento l, carregado uniformemente com carga Q a uma distância r pertencente a sua mediatriz e mostre que se r ll l, a equação se reduz ao campo produzido por um fio infinito carregado com uma densidade linear de carga lambda.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico num ponto P situado a uma distância r da mediatriz de um fio retilíneo de comprimento l carregado uniformemente com carga total Q.
Conteúdo: eletrostática, Lei de Coulomb, densidade linear de carga e integração.
Estratégia:
– Definir densidade linear lambda = Q/l.
– Escolher eixo x ao longo do fio, com a origem no seu ponto médio.
– Usar simetria para anular componentes horizontais de vec E e integrar a componente perpendicular.

Passo 2

Considere um elemento de carga
dQ = lambda, dx
posicionado em x (variando de -l/2 a +l/2). Pelo princípio de superposição e Lei de Coulomb, o módulo do campo devido a dQ em P é
dE = 14piepsilon0, dQr^2 + x^2 =14piepsilon0,lambda, dxr^2 + x^2
A componente perpendicular (e única não nula) é
dEy = dE;rraizr^2 + x^2 =14piepsilon0,lambda,r, dx(r^2 + x^2)^3/2

Passo 3

Integramos de x=-tfrac l2 a +tfrac l2. Pela simetria,
E =2integral0^l/2 dEy =2,14piepsilon0,lambda,r integral0^l/2 dx(r^2 + x^2)^3/2
Usando
integral0^a dx(r^2 + x^2)^3/2 =ar^2raizr^2 + a^2,
com a = l/2, obtemos
E =14piepsilon0,2lambda,r;tfrac l2r^2raizr^2 + l(tfrac l2r)^2 =14piepsilon0,lambda,lrraizr^2 + l(tfrac l2r)^2

Passo 4

No limite rll l temos raizr^2 + (l/2)^2approx l/2. Então
Eapprox14piepsilon0,lambda,lr,(l/2) =12piepsilon0,lambdar,
que coincide com o campo de um fio infinito de densidade lambda.

Resposta

E =14piepsilon0,lambda,lrraizr^2 + l(tfrac l2r)^2,
com lambda=Q/l.
Para rll l:
Eapproxlambda2piepsilon0,r,
campo de um fio infinito.

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