3^a Questão: (a) Explique a razão pela qual qualquer onda descrita por uma função da forma y(x, t)=f(x-v t) se desloca no sentido +x com velocidade v. (b) Mostre que y(x, t)=f(x-v t) satisfaz à equação de onda qualquer que seja a forma da função f. Para fazer isso, escreva y(x, t)=f(u), onde u=x-v t. A seguir, para obter as derivadas parciais de y(x, t), use a regra de derivação em cadeia:
& partial y(x, t)partial t=partial f(u)partial u partial upartial t=partial f(u)partial u(-v), & partial y(x, t)partial x=partial f(u)partial u partial upartial x=partial f(u)partial u,
(c) Um pulso ondulatório é dado por y(x, t)=A e^-(B x-C t)^2 onde A, B e C são constantes positivas. Qual é a velocidade dessa onda?

Passo 1

O enunciado trata de ondas unidimensionais da forma
y(x,t)=f(x-vt)
e pede: (a) explicar por que essa forma se desloca no sentido +x com velocidade v; (b) mostrar que essa forma satisfaz a equação de onda
partial^2 ypartial x^2=1v^2,partial^2 ypartial t^2
para qualquer f; e (c) encontrar a velocidade de um pulso
y(x,t)=A,e^-(B,x - C,t)^2,

Passo 2

Para ver por que o gráfico de y(x,t)=f(x-vt) se desloca em +x a uma velocidade v, note que um ponto de “mesma fase” (mesmo valor de y) satisfaz
u = x - v,t = u0(constante)
Desse modo
x = v,t + u0,
ou seja, à medida que t cresce, x cresce linearmente com inclinação v. Logo a forma f “anda” no sentido +x com velocidade v.

Passo 3

Para mostrar que y(x,t)=f(u) satisfaz a equação de onda use u=x-vt e aplique a regra da cadeia:
partial ypartial t =dfdu,partial upartial t =f'(u),(-v),
partial^2 ypartial t^2 =partialpartial tl(f'(u)(-v)r) =f''(u),(-v),partial upartial t =f''(u),v^2,
partial ypartial x =dfdu,partial upartial x =f'(u),
partial^2 ypartial x^2 =partialpartial xl(f'(u)r) =f''(u),partial upartial x =f''(u)

Passo 4

Agora basta substituir na equação de onda:
partial^2 ypartial x^2 = f''(u), 1v^2,partial^2 ypartial t^2 =1v^2l(f''(u),v^2r) = f''(u)
Como os dois lados coincidem, y(x,t)=f(x-vt) satisfaz
partial^2 ypartial x^2 =1v^2,partial^2 ypartial t^2
para qualquer f.

Passo 5

No pulso y(x,t)=A,e^-(B,x - C,t)^2 o argumento da exponencial é
-(B,x - C,t)^2 = -B^2l(x - tfracCB,tr)^2
Isso mostra que ele é da forma fl(x - (C/B),tr). Portanto o pulso se desloca em +x com velocidade
v = CB

Resposta

(a) Porque para uma fase fixa x-vt=const obtém-se x=v,t+const, ou seja, a onda se move em +x com velocidade v.
(b) Calculando as derivadas via regra da cadeia obtemos partial^2y/partial x^2=f''(u) e (1/v^2),partial^2y/partial t^2=f''(u), logo equilibrados, satisfazendo a equação de onda.
(c) Para y=A,e^-(B,x - C,t)^2 a velocidade de propagação é
v = CB

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