Questão: (a) Explique a razão pela qual qualquer onda descrita por uma função da forma
se desloca no sentido
com velocidade
. (b) Mostre que
satisfaz à equação de onda qualquer que seja a forma da função
. Para fazer isso, escreva
, onde
. A seguir, para obter as derivadas parciais de
, use a regra de derivação em cadeia:
(c) Um pulso ondulatório é dado por
onde
e
são constantes positivas. Qual é a velocidade dessa onda?
Passo 1
O enunciado trata de ondas unidimensionais da forma
e pede: (a) explicar por que essa forma se desloca no sentido
com velocidade
; (b) mostrar que essa forma satisfaz a equação de onda
para qualquer
; e (c) encontrar a velocidade de um pulso
Passo 2
Para ver por que o gráfico de
se desloca em
a uma velocidade
, note que um ponto de “mesma fase” (mesmo valor de
) satisfaz
Desse modo
ou seja, à medida que
cresce,
cresce linearmente com inclinação
. Logo a forma
“anda” no sentido
com velocidade
.
Passo 3
Para mostrar que
satisfaz a equação de onda use
e aplique a regra da cadeia:
Passo 4
Agora basta substituir na equação de onda:
Como os dois lados coincidem,
satisfaz
para qualquer
.
Passo 5
No pulso
o argumento da exponencial é
Isso mostra que ele é da forma
. Portanto o pulso se desloca em
com velocidade
Resposta
(a) Porque para uma fase fixa
obtém-se
, ou seja, a onda se move em
com velocidade
.
(b) Calculando as derivadas via regra da cadeia obtemos e
, logo equilibrados, satisfazendo a equação de onda.
(c) Para a velocidade de propagação é
(b) Calculando as derivadas via regra da cadeia obtemos
(c) Para