Calcule o campo elétrico gerado por um anel de raio r, com uma carga q uniformemente distribuída em seu corpo, em um ponto sobre o eixo do anel e à distância a do seu centro.

Passo 1

Beleza, o exercício pede o campo elétrico gerado por um anel de raio com carga total uniformemente espalhada, medido num ponto sobre o eixo do anel a uma distância do centro.
Matéria: campo elétrico de distribuições contínuas.
O que vamos usar:
  1. Lei de Coulomb para um elemento de carga .
  2. Simetria do anel para ver que só sobra componente ao longo do eixo.
  3. Integração de ao longo de todo o anel.

Passo 2

Vamos pegar um pedacinho de carga dE = 14pivarepsilon0,dqR^2, do anel. Pela lei de Coulomb, esse R = raizr^2 + a^2 gera um campo infinitesimal em dEz = dEcostheta = 14pivarepsilon0,dqR^2,aR = 14pivarepsilon0,a,dq(r^2 + a^2)^3/2 de módulo
onde é a distância de até . Como está no eixo, a distância é
Mas atenção: o vetor forma um ângulo com o eixo, e . Por puro simetria do anel, todas as componentes radiais se cancelam, sobrando só a componente ao longo do eixo, que chamamos de :

Passo 3

Agora somamos (integral) todas essas contribuições Ez = integral dEz = 14pivarepsilon0,a(r^2 + a^2)^3/2integral dq = 14pivarepsilon0,q,a(r^2 + a^2)^3/2 ao longo do anel. Como a distribuição é uniforme, . Então

Resposta

boxedE = 14pivarepsilon0,q,al(r^2 + a^2r)^3/2(no sentido do eixo do anel)

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