Marte orbita o Sol na distância média de 228 milhões de km, num período de 687 dias. A Terra o orbita na distância média de 149,6 milhões de km, num período de 365,26 dias. Suponha que a Terra e Marte estão posicionados de tal forma que a Terra fica sobre uma linha reta entre Marte e o Sol. Exatamente 365,26 dias mais tarde, quando a Terra completou sua órbita, qual é o ângulo entre a linha Terra-Sol e a linha Marte-Sol?*
0,34 rad.
1,00 rad.
3,34 rad.
3,14 rad.
4,14 rad.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos Marte e Terra orbitando o Sol a distâncias e tempos diferentes. Queremos descobrir qual será o ângulo entre a linha que vai da Terra até o Sol e a linha que vai de Marte até o Sol depois que a Terra completar uma órbita inteira, ou seja, depois de 365,26 dias. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimentos circulares e calcular os ângulos percorridos por cada planeta nesse período.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade angular de cada planeta. A velocidade angular ( omega) indica quão rápido um objeto gira em torno de um ponto. Ela é calculada pela fórmula:
omega = 2piT
onde T é o período de órbita (em dias) de cada planeta.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade angular da Terra:
omegaTerra = 2pi365,26 approx 0,0172 , rad/dia
E agora a de Marte:
omegaMarte = 2pi687 approx 0,00915 , rad/dia

Passo 4

Agora, vamos calcular quanto cada planeta terá girado após 365,26 dias.
Para a Terra:
thetaTerra = omegaTerra times 365,26 approx 0,0172 times 365,26 approx 6,283 , rad
Note que 6,283 , rad é aproximadamente igual a 2pi, ou seja, a Terra completou uma órbita completa.

Passo 5

Para Marte:
thetaMarte = omegaMarte times 365,26 approx 0,00915 times 365,26 approx 3,34 , rad
Isso significa que Marte girou cerca de 3,34 , rad em relação à posição inicial após 365,26 dias.

Passo 6

Agora, queremos encontrar o ângulo entre a linha Terra-Sol e a linha Marte-Sol. Como a Terra completou uma órbita completa (voltou à posição inicial), o ângulo relativo é apenas o quanto Marte se moveu em relação à Terra.
Ângulo = thetaMarte - thetaTerra = 3,34 , rad - 2pi , rad approx 3,34 - 6,283 approx -2,94 , rad Â
Como ângulos negativos indicam direção, mas estamos interessados no tamanho do ângulo, podemos considerar o valor absoluto ou adicionar 2pi para obter um ângulo positivo equivalente:
-2,94 , rad + 6,283 , rad approx 3,34 , rad

Resposta

O ângulo entre a linha Terra-Sol e a linha Marte-Sol após 365,26 dias é de 3,34 rad.

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